高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版.pptx

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1、第二章　推理与证明§2.3数学归纳法1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点　数学归纳法问题导学新知探究点点落实答案对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答成立.思考2能否通过以上归纳出n＝51时等式也成立？为什么？答不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与n有关的命题，可按下列步骤进行：假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当________时命题也成立正

2、整数n＝k＋1答案答案返回只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.(2)数学归纳法的框图表示n=n0从n0开始所n=kn=k+1有的正整数题型探究重点难点个个击破类型一　用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________.2(2k＋1)答案反思与感悟解析答案左边＝右边，等式成立.②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，反思与感悟解析答案∴当n＝k＋1时，等式成立.由①②

3、可知，对一切n∈N*等式成立.反思与感悟数学归纳法证题的三个关键点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项.(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是

4、数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.反思与感悟解析答案左边＝右边.所以当n＝1时等式成立.②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即：解析答案则当n＝k＋1时，左边＝∴当n＝k＋1时等式成立.由①②知，对一切n∈N*等式成立.类型二　利用数学归纳法证明不等式解析答案反思与感悟(2)假设当n＝k时，不等式成立，解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟所以当n＝k＋1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立.反思与感悟反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则

5、n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，反思与感悟以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.解析答案(2)假设当n＝k(k

6、∈N*，k≥1)时，不等式成立，解析答案∴当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.类型三　归纳—猜想—证明解析答案(1)求a2，a3；解析答案反思与感悟(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.解析答案证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；反思与感悟Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，这就证明了当n＝k＋1时命题成立.由①②可知命题对任何n∈N*都成立.反思与感悟反思与感悟1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤2.归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明

7、猜想.“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；解析答案解当n＝1时，(2)证明通项公式的正确性.解析答案返回证明①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，解析答案返回即当n＝k＋1时，通项公式也成立.达标检测12341.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证()A.n＝1B.n＝2C.n＝3D.n＝4C解析由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.解析答案12342.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2

8、n＋1＝(a≠1)”.在验证n＝1时，