高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法习题课课件新人教A版.pptx

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1、第二章§2.3数学归纳法习题课　数学归纳法1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　归纳法答案问题导学新知探究点点落实归纳法是一种的推理方法，分和______________两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明.由特殊到一般完全归纳法纳法不完全归知识点二　数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还

2、有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步归纳递推时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设.正整数n返回类型一　求参数问题解析答案题型探究重点难点个个击破例1是否存在常数a，b，c，使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？并证明你的结论.反思与感悟解分别用1,2,3代入得解析答案下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝1·(12－12)＝0，②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，反思与感悟则当n＝k＋1时，左边＝1·[(k＋1)2－12]＋2·[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k

3、＋1)2－(k＋1)2]＝1·(k2－12)＋2·(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋1·(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)由①②知等式对一切正整数都成立.反思与感悟反思与感悟这类猜测存在性问题的思路：若存在a，b，c使等式成立，首先在n＝1,2,3时，等式应成立，因此由n＝1,2,3先把a，b，c求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a，b，c使等式成立.解析答案解析答案所以取a＝25.①n＝1时，已证结论正确.解析答案即n＝k＋1时，结论也成立.故a的最大值为25.类型二　整除问题解析答案例2求证：当n∈N*时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除

4、.反思与感悟证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立.反思与感悟反思与感悟证明整除性问题的关键

5、是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证.跟踪训练2用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除.解析答案证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7，能被7整除.(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，62k－1＋1能被7整除.那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除.由(1)(2)知命题成立.类型三　有关几何问题例3平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何

6、三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝.解析答案反思与感悟证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，解析答案反思与感悟∴当n＝2时，命题成立.(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，反思与感悟∴当n＝k＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明.跟踪训练3有n个圆，其中每两

7、个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分.解析答案返回证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域.∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k