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1、1集合(set)小结思考题作业函数(function)1.1集合与函数第1章函数具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该一、集合集合元素(简称元)(集)元素(element).集合的通常以大写字母等表示集合,以小写字母等表示集合的元素.否则记记作或若a是A的元素,则说a属于A,1.1集合与函数空集.不含任何元素的集合称为1.集合(set)的概念23集合分类有限集无限集只含有限个元素;不是有限集的集合.列举法表示集合方法有两种描述法把集合的全部元素一一列出来,例考察由下列元素0,1,2,3,4,5,6
2、,7,8,9可以用列举法将其表示成列举法有很大的局限性.组成的集合A,外加花括号.1.1集合与函数1.1集合与函数4如:由不超过1010的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合,其元素是很多纸张!根本无法一一罗列出来.得用很多时间,不可数的,更常用的是列出规定这个集合特定性质P就是描述法.花括号中竖线前的x而竖线后是M中元素的通用符号,则是x所具有的性质.的办法来表示集合,可用列举法表示为的根组成的集合也可用描述法表示为例由方程52.区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的
3、全体实数.称为称为这两个实数叫做区间的端点.开区间,闭区间,1.1集合与函数6称为有限区间无限区间半开半闭区间.全体实数的集合R也可记作是无限区间.1.1集合与函数73.邻域(neighborhood)数集即邻域,记作几何表示1.1集合与函数8有时简记为去心(空心)即点a的称为a的称为a的1.1集合与函数94.逻辑符号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“”表示“任取”,或“任意给定”.“”表示或“能够找到”.如实数的阿基米德公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公
4、理改写:Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的字头E的倒写练习1.1集合与函数“存在”,“至少存在一个”,10二、函数(function)1.1集合与函数定义设有两个变量x和y,自变量因变量定义域记作变量y的取值的集合称为函数的值域(range),即x的变化域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则f,变量y总有唯一的数值与之对应,则称y为x的函数(function),1.函数概念11注(1)函数的记号:除常用的f外,可任意选取,如相应地,函数可记作:等,等,也可记作:在同一个
5、问题中,讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数,以示区别.1.1集合与函数12(2)对应的函数值y总是唯一的,否则称为如是多值函数,它的两个单值分支是:单值函数,多值函数.约定:今后无特别说明时,函数是指单值函数.这种函数称为(3)构成函数的是两个不同的函数.(因为定义域不同).如定义域Df与对应法则f.两个要素:1.1集合与函数13函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即简称函数表示法的(4)而与用什么字母无关,无关特性.1.1集合与函数14定义域一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义
6、的一切由问题的实际意义所确定.(2)实际问题(几何或物理问题);在纯数学的研究中(函数由一个公式实数组成的集合,这种定义域称为自然定义域.表示的).1.1集合与函数15例求下列函数的定义域:解定义域是定义域是1.1集合与函数16常用的函数关系表示法是多种多样的.公式法(解析法);主要有三种形式表格法.各种表示法,都有其优点和不足.图形法;公式法(解析法)图形法表格法今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;形象直观,富有启发性,便于记忆;便于查找函数值,但它常常是不完全的.也可用语言描述.配合使用图形法和表格法.
7、需特别指出的是,公式法不一定仅用一个公式表示函数.1.1集合与函数17例某商店对一种商品的售价规定如下:购买量有些函数分段函数.称为函数关系也不同,除了可用一个数学式子表示函数外,随着自变量取不同的值,这种函数不超过5千克时,每千克0.8元;购买量大于5千克而不超过10千克时,若购买x千克的费用记为f(x),则购买量大于10千克时,超过10千克部分每千克0.4元,元;在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形.其中超过5千克部分优惠价每千克0.61.1集合与函数18用分段函数表示函数分段函数在其整个
8、定义域上是一个函数,答案:即注而不是几个函数!13.练习并画出其图形.1.1集合与函数19几个今后常引用的函数绝对值函数例定义域值域1.1集合与函数20符号函数定义域值域对例有或1.1集合与函数21取整函数如例阶梯曲线定义域值域表示不超过x的最大整数R=Z1.1集合与函数22例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859(x为有理函数)(x为无理函数
