《讲集合与函数》PPT课件.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第一讲集合与函数第一章集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，了解反函数和复合函数的概念。了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图形。一、集合的基本概念集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是丹麦人康托尔（犹太人），他在柏林大学学习（工科）期间受大数学家魏尔斯特拉斯的影响，转而攻读数学，最后成为一名数学家。他于1847年提出集合论，解决了当时一系列悬而未决的问题，奠定了现代数学基础。但康托尔创建集合论的过程是十分艰难的

2、，为此他几乎献出了生命。这也说明如何一件新生事物的出现往往都不是一帆风顺的。康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合关于集合的几点注意：集合的元素是确切定义的，不能含糊不清。集合中的元素互不相同。当只研究一个集合时，则可不考虑其结构，视集合中的元素一律平等。2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。3.有

3、界集A≠Ф，若存在M>0,x∈A，均有

4、x

5、≤M，则称A为有界集；若对A中的任何元素x，有x≤M,则称A为有上界；若对A中的任何元素有x≥－M，则称A为有下界。4.映射对于映射f：A→B，若x1,x2∈A，x1≠x2推出f(x1)≠f(x2)，则是单射；典型的单射：单调函数，不是单射的函数：偶函数对于对于B中任意一个元素都有原像与之对应，即是满射。也就是说每一个元素都有原像。一旦规定了是函数，他肯定是一个满射单射：满射：双射单射但非满射满射但非单射非满射但非单射U(x0,)={x

6、

7、xx0

8、<,x

9、R,>0}x0+()x0x0xU(x0,)

10、xx0

11、<5.邻域U(x0,)={x

12、0<

13、xx0

14、<,xR,>0}x0+()x0x0xU(x0,)0<

15、xx0

16、<点的某邻域，记为U(x0).点的某去心邻域，记为Û(x0).U(3,0.1)=(30.1,3+0.1)点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为Û(3,0.1)=(2.9,3)(3,3.1)=(2.9,3.1)例9二、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！

17、3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。综上所述,该函数的定义域为D=(1,2)。由负数不能开偶次方,得由对数函数的定义域,得由分母不能为零,得例1解该函数为分段函数,它的定义域为求函数的定义域。例2解分段函数是一个在自变量的不同取值范围内具有不同的对应关系的函数,即在定义域的一些不相重叠的真子集上,用不同的表达式表示的函数.该函数称为符号函数,其定

18、义域为1xyO1y=sgnx例3解求的定义域。也称为克朗涅哥函数将x表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例4“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子？例5解故定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例6解例7解5.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy，则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？例8狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家，他

19、以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性三、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有界有上界有下界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数

20、A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上有界。否则,称函数y=f(x)在区间I上无界。函数有界性的定义y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函数有界示意图函数y=f(x)在区间I上有界成立，则称函数y=f(x)在区间I上是上方有界的,简称有上界。设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数M(可正，可负)，对一切xI恒有y=f(x)f(x)≤Mf(x)≥m在区间I上是下方