20第一章概率论的基本概念

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1、２０第一章概率论的基本概念２１０Ｐ（Ａ）＝＋×Ｐ（Ａ），１６１６１从而Ｐ（Ａ）＝．３如果要你判断一下，发生概率为ｐ＝０?０００１的事件Ａ，在进行一次试验时是否会发生呢？回答是：可能不会发生．从长期实践中得到“概率很小的事件在一次试验中几乎不发生”（称之为实际推断原理），但是若独立进行成千上万次试验，结果又如何呢？且看下面的例题．例１?５?４某技术工人长期进行某项技术操作，他经验丰富，因嫌按规定操作太过烦琐，就按照自己的方法进行，但这样做有可能发生事故．设他每次操作发生事故的概率为ｐ，ｐ＞０且很小，他独立地进行了ｎ次操作．求：（１）ｎ次都不发生事故的概率；（２）至少有一次发生

2、事故的概率．解设Ａ＝｛ｎ次都不发生事故｝，Ｂ＝｛ｎ次中至少有一次发生事故｝，Ｃ＝ｉ｛第ｉ次不发生事故｝，ｉ＝１，２，…，ｎ．由题意知，Ｃ，Ｃ，…，Ｃ相互独立，且Ｐ（Ｃ）＝１２ｎｉ１－ｐ．故ｎ（１）Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＣＣ…Ｃ）＝（１－ｐ）．１２ｎｎ（２）Ｐ（Ｂ）＝１－Ｐ（Ａ）＝１－（１－ｐ）．注意到，ｌｉｍＰ（Ｂ）＝１，也就是说，虽然每次发生事故的概率ｐ很小，但只要次数ｎ→＋∞多（ｎ充分大），至少有一次发生事故的概率就会大，甚至接近于１．总之，随着独立重复试验次数的增多，“小概率事件至少有一次发生”的概率在渐渐增大．思考题一——１．若Ａ⊃Ｂ，则ＡＢ＝Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ，Ａ⊂Ｂ中哪些结

3、论正确？２．随机事件Ａ发生的频率ｆ（Ａ）是个变化的数，而发生的概率Ｐ（Ａ）是一个定数，对吗？ｎ当ｎ充分大时，Ｐ（Ａ）＝ｆ（Ａ），对吗？掷一枚硬币１００次，记前ｎ次正面出现的频率为ｆ（Ｈ），ｎｎ则ｆ（Ｈ）－０?５＞ｆ（Ｈ）－０?５一定成立吗？ｎ１００３．试举例说明Ｐ（ＡＢ）与Ｐ（ＢＡ）的不同意义．４．因为随机事件Ａ发生时Ａ∪Ｂ一定发生，故Ｐ（ＡＡ∪Ｂ）＝１，对吗？５．当Ｐ（Ａ）＞０，Ｐ（Ｂ）＞０时，随机事件Ａ，Ｂ相互独立与不相容可能同时成立吗？Ａ，Ｂ相互独立能用维恩图（如图１?１?１）表示吗？６．设随机事件Ａ，Ｂ，Ｃ满足Ｐ（ＡＢＣ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）·Ｐ（Ｃ），问Ａ，Ｂ，Ｃ

4、一定相互独立吗？习题一２１习题一１．为了解吸烟对人体健康是否有影响，对一社区居民进行抽样调查，分别用０，１，２表示不吸烟、少量吸烟及吸烟较多，再用ａ，ｂ，ｃ表示身体健康、一般及有病．例如：（０，ａ）就表示抽到的居民是不吸烟的健康者．（１）问试验的样本空间共有多少个样本点？（２）设Ａ＝｛抽到的居民身体健康｝，试写出Ａ所包含的样本点；（３）设Ｂ＝｛抽到的居民不吸烟｝，试写出Ｂ所包含的样本点．２．设Ａ，Ｂ，Ｃ为３个随机事件，请用事件的运算关系式表示：（１）Ａ，Ｂ，Ｃ至少有２个发生；（２）Ａ，Ｂ，Ｃ最多有１个发生；（３）Ａ，Ｂ，Ｃ恰有１个不发生；（４）Ａ，Ｂ，Ｃ至少有１个不发生．３

5、．设Ａ，Ｂ为两个随机事件，且Ａ，Ｂ中至少有一个发生的概率为０?９．（１）若Ｂ发生的同时Ａ不发生的概率为０?４，求Ｐ（Ａ）；（２）已知Ｐ（Ｂ）＝０?６，求Ａ发生的同时Ｂ不发生的概率．４．设事件Ａ与Ｂ不相容，Ｐ（Ａ）＝０?３，Ｐ（Ｂ）＝０?５．求：（１）Ａ与Ｂ至少有一个发生的概率；（２）Ａ与Ｂ都不发生的概率；（３）Ａ不发生的同时Ｂ发生的概率．５．设Ａ，Ｂ，Ｃ为三个随机事件，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｂ）＝０?３，Ｐ（Ｃ）＝０?４，且当Ａ发生时Ｃ必然发生，而Ｂ与Ｃ不相容，求：（１）Ｃ发生的同时Ａ不发生的概率；（２）Ａ与Ｂ至少有一个发生的概率；（３）Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生的概率．６．一袋中有１０个

6、球，其中８个是红球．每次摸一球，共摸２次，在放回与不放回抽样两种方式下，分别求：（１）“两次均为红球”的概率；（２）“恰有１个红球”的概率；（３）“第２次是红球”的概率．７．一３０人的班级中有两个“王姓”的学生，将全班学生随机排成一排，求：（１）两个“王姓”学生紧挨在一起的概率；（２）两个“王姓”的学生正好一头一尾的概率．８．一盒子中有２个红球，３个黑球，２个白球（共７个球）．每次摸一球（不放回），共摸３次．求：（１）摸到球恰是１红１黑１白的概率；２２第一章概率论的基本概念（２）摸到的全是黑球的概率；（３）第１次为红球且第２次为黑球第３次为白球的概率．９．编号为１，２，…，

7、９的９辆车，随机地停入编号为１，２，…，９的９个车位中，若车号与车位号一样称该车配对．求：（１）１号车配对的概率；（２）１号车配对而９号车不配对的概率．１０．将５个不同的球随机放入３个不同的盒子中，盒子容量不限，求３号盒子恰好有两个球的概率．１１．在某卫视的一档节目中，有这样一个项目：舞台现场摆放了５０张脸谱，嘉宾从中随机挑选两张脸谱，电脑将两张脸谱进行合成产生一张新的脸谱，挑战者要根据合成的脸谱，将原先的两张脸谱找出来．如果是猜的话，求他能够猜中的概率．——１２．设Ａ，Ｂ为两随机事件，且已知Ｐ（Ａ）＝０?７，Ｐ（