第一章概率论的基本概念

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1、第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念一、条件概率§5条件概率1）条件概率的定义：设A、B是某随机试验中的两个事件，且P(B)>0一条件概率则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为B发生的条件下A发生的条件概率，记为二乘法定理P(AB)三全概率公式和贝叶斯公式第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念例1两台车床加工同一种零件共100个，结果如下合格品数次品数总计设A、B是某随机试验中的两个事件，且P()B>0第一台车床加工数35540则第二台车床加工数501060()P(AB)PAB=

2、总计8515100P()B设A={从100个零件中任取一个是合格品}称B发生的条件下A发生的概率B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的}求：P()A,P(B),P()AB,P(A

3、B).854035解：P()A=,P()B=,P()AB=,1001001003585P()AB=≠P()A=,40100第一章概率论的基本概念2）条件概率的性质：(1)非负性：对任意事件A，有P()AB≥0练习1：掷两颗骰子，观察出现的点数，设M，N分别表示第一、二颗骰子的点(2)规范性：P(SB)=1；数，且设(3

4、)可列可加性：如果随机事件A，A，"，A，"A={}M,NM+N=1012n两两互不相容，则B={}M,NM>N⎛∞⎞∞()()P⎜⎜∪AnB⎟⎟=∑P()AnB求PBA,PAB⎝n=1⎠n=1概率的其他性质对条件概率仍然成立1例2：一盒中有5只产品，3只一等品，2只二等品，从中任取两次，不放回抽样。A：第一次取到一等品例3：设某种动物由出生算起活20岁以B：第二次取到一等品上的概率为0.8，活25岁以上的概率为求：P()BA0.4，若有一20岁的这种动物，问活到放回抽样？25岁以上的概率？第一章概率论的

5、基本概念第一章概率论的基本概念例4已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女二、乘法公式孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．1）两个事件的乘法公式：解：设A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}由条件概率的定义P()ABP()BA=P(AB)所求概率为P()BA=()P()APA我们得176而P()A=1−P()A=1−=P()AB=P(AB)=P(A)P()BA8886()86这就是两个事件的乘法公式．所以PBA==778第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念2）多个事件的乘法公式设

6、A，A，"，A为n个随机事件，且12n例5袋中有10个白球与3个黑球，现每次从中()取出一球，（不放回）求第三次才取到黑PAA"A>0n≥212n−1球的概率．则有P()A1A2"An=P()A1P(A2A1)P()A3A1A2⋅⋅⋅P()AnA1A2"An−1这就是n个事件的乘法公式．2第一章概率论的基本概念第一章概率论的基本概念例6袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进P(B)=P(AA"A)一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未12n取出黑球的概率．=P

7、(A)P(AA)P(AAA)⋅⋅⋅P()AAA"A解：121312n12n−1设B={}取了n次都未取出黑球123nA={}第i次取出白球()i=1，2，"，n=⋅⋅⋅"⋅i234n+1则B=AA"A112n=n+1由乘法公式，我们有三、全概率公式和贝叶斯公式P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B)引例有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红且:A1B、A2B、A3B两两互斥球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红P(BPA)()()()=BPA++BPAB球,某人从三箱中任取一箱，从中任意

8、摸出一球1233求:取得红球的概率.P(B)=∑P(Ai)P(B｜Ai)解：记B={取得红球}123i=1Ai={球取自i号箱},i=1,2,38PB()=注意B=ABABAB∪∪15123到：2.全概率公式定理1设试验E的样本空间为S,A为E的事件，1．样本空间的划分B1,B2,",Bn为S的一个划分，且PB()0i>定义：设S为试验E的样本空间，B,B,""B12nin=1,2,",则：为E的一组事件,若：PAPABPB()=()()(⋅+PABPB)()⋅+"1122n(1)BB=Φi≠j,i,j=

9、1,2,""nij+⋅PABPB()()=⋅PABPB()()nn∑iii=1(2)B∪∪BB"∪=S称为全概率公式12n证明：∵AA=S=AB()12∪∪B"∪Bn则称BBB,,"是样本空间S的一个划分,12n=AB∪∪AB"∪AB12n或称B,B,"B是一个互斥事件完备组。12n3且()AB(),AB=Φi≠j第一章概率论的基本概念ij全概率公式的使用：∴P(A)=P(AB)+P(AB)+"+P(AB)12n我们把事件A看