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1、一、相似矩阵与相似变换的概念定义1设AP,,Bn都是阶矩阵若有可逆矩阵,使−1PBAP=,则称BA是的相似矩阵,.或说矩阵A与B相似−1对A进行运算PAPA称为对进行相似变换,可逆矩阵P称为把AB变成的相似变换矩阵.首页上页返回下页结束二、相似矩阵与相似变换的性质1.等价关系(1)反身性A与A本身相似.(2)对称性若A与B相似,则B与A相似.(3)传递性若A与B相似,B与C相似,则A与C相似.−1()(−1)(−1)2.PAAP=PAPPAP.1212mm()3.若A与B相似,则A与B相似m为正整数.−1()−1−14.PkA+kAP=kPAP+kPAP
2、11221122其中k,k是任意常数.12首页上页返回下页结束一、相似矩阵与相似变换的概念定义1设AP,,Bn都是阶矩阵若有可逆矩阵,使−1PBAP=,则称BA是的相似矩阵,.或说矩阵A与B相似−1对A进行运算PAPA称为对进行相似变换,可逆矩阵P称为把AB变成的相似变换矩阵.注意:相似矩阵是针对两个方阵而言的!特征值的关系?首页上页返回下页结束定理1若nA阶矩阵与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而AB与的特征值亦相同.证明A与B相似−1⇒∃可逆阵P,使得PAP=B−1−1()∴B−λE=PAP−PλEP−1()=PA−λEP−1=PA−λEP=A−
3、λE.⎛λ1⎞⎜⎟⎜λ⎟2推论若n阶方阵A与对角阵Λ=⎜B⎟⎜⎟⎜⎟⎝λ⎠n相似,则λ,λ,?,λ即是A的n个特征值.12n首页上页返回下页结束利用对角矩阵计算矩阵多项式若=−1,k个APBP则Ak=−1−1−1−1=k−1.PBPPBP?PBPPBPPBPA的多项式nn−1ϕ(A)=a0A+a1A+?+an−1A+anEn−1n−1−1=a0PBP+a1PBP+?−1−1+an−1PBP+anPEPnn−1−1=P(a0B+a1B+?+an−1B+anE)P−1=Pϕ(B)P.首页上页返回下页结束−1特别地,若可逆矩阵P使PAP=Λ为对角矩阵,kk−1
4、−1则A=PΛP,ϕ(A)=Pϕ(Λ)P.对于对角矩阵Λ,有k⎛⎞⎜⎟λ1kkΛ=⎜⎟λ2,见P45-例13⎜⎟Bk⎜⎟⎝⎠λn一般地,利用上述结论可以⎛⎞ϕ()λ1很方便地计⎜⎟ϕ()ϕ()Λ=⎜⎟λ2,算矩阵A的B⎜⎟()多项式ϕ(A).ϕ⎝⎠λn首页上页返回下页结束定理设f(λ)是矩阵A的特征多项式,则f(A)=O.证明只证明A与对角矩阵相似的情形.若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使−1PAP=Λ=diag(λ1,?,λn),−1其中λi为A的特征值,f(λi)=0.由A=PΛP,有⎛f(λ1)⎞⎜⎟f(A)−1−1=Pf(Λ)P=P⎜B⎟P⎜
5、⎟⎝f(λn)⎠−1=POP=O.首页上页返回下页结束三、利用相似变换将方阵对角化−1定义对nA阶方阵,若∃
6、P
7、≠=0,使PAPΛ为对角阵,.则称方阵A对角化定理2AA与对角矩阵相似(即能对角化)对角化判n⇔A有n个线性无关的特征向量.定定理证明−1AP能对角化⇒∃
8、
9、≠0,使PAP=Λ,⇒=APPΛ,把P用其列向量表示为P=(p,p,?,p).12n首页上页返回下页结束⎛λ1⎞⎜⎟⎜λ⎟()()2即Ap,p,?,p=p,p,?,p12n12n⎜B⎟⎜⎟⎜⎟=(λp,λp,?,λp).⎝λn⎠1122nn∴A()pp12,,??,pnn=(Ap1,Ap
10、2,,Ap)=(λp,λp,?,λp)112n于是有Ap=λp(i=1,2,?,n).iii可见λi是A的特征值,而P的列向量pi就是A的对应于特征值λ的特征向量.i又由于P可逆,所以p,p,?,p线性无关.12n首页上页返回下页结束三、利用相似变换将方阵对角化−1定义对nA阶方阵,若∃
11、P
12、≠=0,使PAPΛ为对角阵,.则称方阵A对角化定理2AA与对角矩阵相似(即能对角化)对角化判n⇔A有n个线性无关的特征向量.定定理证明A有np个特征向量⇒=Apλp,iiiipi(1=⇒,??n)线性无关R(pp)=R(P)=n,in1⇒P可逆,Apii==λpi(
13、i1,2,??,n)⇒AP=P⋅diag(λλ1n).命题得证.首页上页返回下页结束推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．说明1.如果A的特征方程有重根，此时A不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化.2.但如果能找到n个线性无关的特征向量，则能对角化．首页上页返回下页结束例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？⎛1−22⎞⎛−21−2⎞⎜⎟⎜⎟(1)A=⎜−2−24⎟(2)A=⎜−53−3⎟⎜⎟⎜⎟⎝24−2⎠⎝102⎠解1−λ−22(1)由A−λE=−2−2−λ424−2−λ()(2)=−λ−2λ+7=0得λ=λ=2,λ
14、=−7.123首页上页返回下页结束将λ=λ=2代入(A−λE)=0,得方程组12
