第二十四讲 相似矩阵的概念

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1、第二讲相似矩阵的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、方阵相似对角化的条件一、相似矩阵的概念第五章相似矩阵与二次型1则称矩阵A相似于矩阵B.一、相似矩阵的概念定义设A,B为n阶矩阵,P为n阶可逆矩阵,且P-1AP=B,对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.2例如：因为所以A与B相似.3二、相似矩阵与相似变换的性质相似描述了矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面的性质:(1)反身性.本身相似与AA(2)对称性.,相似与则相似与若ABBA(3)传递性.,,相似与则相似

2、与相似与若CACBBA4以下设A，B是同阶矩阵.因而A与B有相同的特征多项式和特征值.性质1若矩阵A与矩阵B相似,则

3、A-E

4、=

5、B-E

6、,相似的矩阵具有一些共性，也称为相似不变性：证明:因为A与B相似,所以存在可逆矩阵P使得5相似变换是不改变特征值的变换推论若n阶矩阵A与对角矩阵=diag(1,2,…,n)相似，则1,2,…,n即是A的n个特征值.6g(A)与g(B)相似.证明略.性质3若矩阵A与B相似,k是常数,m是正整数,g(x)=a0xm+a1xm-1+…+am,则kA与kB相似

7、,Am与Bm相似,性质2若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵A可逆,则矩阵B也可逆,且A-1与B-1相似.7例1设与相似.试求之值.解：根据相似矩阵的性质知，5，-4是A的特征值，所以由第二个等式得x=4，又tr(A)=tr()，可得y=5.8些运算.例2设在矩阵的运算中,对角矩阵的运算很简便,如果一个矩阵能够相似于对角矩阵,则可能简化某请看下例计算Ak.9解用“二调一除”法，可得容易验证记为.于是由此可得直接计算,运算量很大也不易找出规律.利用A相似于对角矩阵的性质.10相应的可逆矩阵P?那么,是否每个矩阵都

8、能相似于对角矩阵?如果能相似于对角矩阵,怎样求出这个对角矩阵及下面我们就来讨论这个问题.为把矩阵A对角化．若矩阵A与对角矩阵相似，则称A能对角化，求相似变换矩阵P，使P–1AP=为对角矩阵称11定理n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵.根据特征向量的性质：“属于不同特征值的特征向量线性无关”知,若A有n个不同的特征值，则A必有n个线性无关的特征向量，因此A可以对角化.有重特征值的方阵A，有可能不可对角化，也有可能可对

9、角化.方阵A能否对角化,关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数.三、矩阵可对角化的条件12例3设有矩阵问矩阵A是否可对角化？解：矩阵A的特征多项式为13所以A的三个特征值分别为:由推论知，则A必能相似于对角矩阵.142、方阵相似对角化的条件.1、相似矩阵和相似变换的概念；小结：15