相似矩阵与合同矩阵

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1、为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划相似矩阵与合同矩阵　　浅谈相似矩阵和合同矩阵　　李鹏　　摘要：矩阵的相似与矩阵的合同是线性代数中两个重要的概念.对它们的定义如何？它们定义中所表现出来的异同点作了简单阐述.二者都是针对方阵来说的，定义中都是要求存在一个可逆矩阵，但一个是可逆矩阵的逆，一个是可逆矩阵的转置.它们都属于等价关系，即都有反身性、对称性、传递性.两者之间虽然存在某些内在联系，但并不是等价的，只有二者定义中的可逆矩阵是正交矩阵时，二者才等价.　　关键词：相似矩阵；合同矩阵；特征值　　1引言　　相似矩阵与合

2、同矩阵是线性代数中很重要的两个概念，前人对它们进行了很详尽的研究和比较完美的应用，本文从他们的定义出发对它们进行了简单的介绍并对它们的判断方法进行了总结，用具体例子对它们的判断方法进行贴切的说明.这些对以后的线性代数问题会有很大用处.　　2相似矩阵与合同矩阵的定义及性质　　2．1相似矩阵的定义及性质　　2．1．1相似矩阵的定义设A、B为两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵C，使得目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技

3、能及个人素质的培训计划　　C?1AC?B　　则称A与相B似，记为A～B称可逆矩阵C为相似变换矩阵.　　在线性变换中，说同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的，反过来，若两矩阵相似，则它们可看成同一线性变换在两组不同基下所对应的矩阵.　　相似是矩阵之间的一种关系，它满足反身性，即A～A；　　对称性，即若A～B，则有B～A；传递性，即若A～B且B～C，则A～C.　　2．1．2相似矩阵的性质性质1若矩阵A~B，则A?B.证设A~B，则存在可逆矩阵C，使得　　C?1AC?B　　两边同时取行列式，得　　B?C?1AC?C?1AC?A　　性质2可逆的相似矩阵，它们的逆矩阵也相似.　　证A，B均为

4、可逆矩阵，且A~B，则存在可逆矩阵C，使得　　B?1??C?1AC??C?1A?1C，　　?1　　即A?1?B?1.目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划　　性质3若A~B，则kA?kB，An?Bn其中k是任意常数，m为正整数.证设A~B，则存在可逆矩阵C，使得从而有kB?kC?1AC?C?1?kA?C,即kA?kB.　　Bn??C?1AC???C?1AC??C?1AC???C?1AC??C

5、?1AnC　　n　　即An?Bn.　　性质4若A~B，f?x?是一个多项式，则f?A??f?B?.证设f?x??a0?a1x?a2x???anx因为A~B，所以存在可逆矩阵C，使得　　f?B??a0E?a1B?a2B2???anBn　　?a0E?a1?C?1AC??a2?C?1AC???an?C?1AC?　　2　　n　　?C?1?a0E?a1A?a2A2??anAn?C?C?1f?A?C　　即f?A??f?B?.　　性质5相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证A~B，则存在可逆矩阵C，使得　　而?E?B??E?C?1AC?C?1??E?A?C?C?1?E?AC??E?A即矩阵

6、A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.　　性质6两个n阶方阵A,B有相同的特征值，证明：它们的特征向量之间相差一个可逆矩阵因子.　　证若矩阵A,B相似，则存在X，使得B?X?1AX，进而设A的属于?0的特征向量为目的-通过该培训员工可对保安行业有初步了解，并感受到安保行业的发展的巨大潜力，可提升其的专业水平，并确保其在这个行业的安全感。为了适应公司新战略的发展，保障停车场安保新项目的正常、顺利开展，特制定安保从业人员的业务技能及个人素质的培训计划　　?，则??0E?A??=0，于是由A?XBX?1知，??0E?A??=??0E?XBX?1??=0　　用X?1左乘上式，得??0E?

7、B?X?1?=0.这就意味着X?1?是B的属于特征值?0的特征向量.同理可证，若?为矩阵B的属于特征值?0的特征向量，则X?必为A的属于?0的特征向量.　　tAtB?另外，相似矩阵有相同的迹.即若A~B，则r?r?　　且B?diag??1,?2,??n?,??;若A~B，　　则?1，?2…?n为A的特征值；若矩阵A,B均可逆，且A~B，则A*?B*.　　2．1．3相似矩阵的判定　　定理1两矩阵相似的充要条件是?E?A等价于?E?B.