空间解析几何.doc

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1、第七章空间解读几何与向量代数内容概要名称主要内容<7-1，7-2，7-3）向量及线性运算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法：当时，表示和同向，的向量；当，表示和反向，的向量；主要性质：<1）单位化向量为，<2）向量的坐标的距离：向量的代数运算向量的模、方向余弦：，向量在轴上的投影：数量积向量积混合积数量积定义及运算：主要性质：<1）；<2），<3）向量积定义运算的模为，方向为指向大拇指方向性质：<1）表示以、为邻边的平行四边形面积；<2）混合积定义及运算：性质：<1）<2）共面的充要条件：习题7-1

2、★★1．填空：（1）要使成立，向量应满足45/45（1）要使成立，向量应满足，且同向★2．设，试用表示向量知识点：向量的线性运算解：★3．设两点的向径分别为，点在线段上，且，证明点的向径为知识点：向量的线性运算证明：在中，根据三角形法则，又，∴★★4．已知菱形的对角线，试用向量表示。知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则，，又为菱形，∴<自由向量），∴∴，★★5．把的边五等分，设分点依次为，再把各分点与点连接，试以表示向量和。知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，45/45图7-1-5根据三角形法则，同理：习

3、题7-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？；；；答：在第四卦限，在第五卦限，在第八卦限，在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点在xoy坐标面上；在yoz坐标面上；在x轴上；在y轴上。★3．求点关于<1）各坐标面；<2）各坐标轴；<3）坐标原点的对称点的坐标。答：<1）关于xoy面的对称点的坐标为；关于xoz面的对称点的坐标为；关于yoz面的对称点的坐标为。<2）关

4、于x轴的对称点的坐标为；关于y轴的对称点的坐标为；关于z轴的对称点的坐标为<3）关于原点的对称点的坐标为★★4．过点45/45分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答：过点平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为，因此坐标为；过点平行于xoy坐标面的平面上的点的竖坐标一定为，因此坐标为b5E2RGbCAP★5．求点到各坐标轴的距离。解：∵到x轴的距离为∴到x轴的距离为；同理到y轴的距离为；到z轴的距离为★★6．在yoz面上，求与三点等距离的点。知识点：空间两点的距离解：

5、∵所求点在yoz面上，∴设所求点的坐标为，由条件可知：，∴所求点为★7．已知两点，试用坐标表示式表示向量。知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解：；★8．求平行于向量的单位向量知识点：向量的坐标表示及代数运算解：平行于向量的单位向量有和同向和反向两个，∴★★9．已知两点，计算向量的模、方向余弦、方向角。知识点：向量的坐标表示及代数运算解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：45/45★★10．已知向量的模为3，且其方向角，求向量。知识点：向量的坐标表示及相关概念解：根据向量、向量的模、方向余弦之

6、间的关系可得：★★11．设向量的方向余弦分别满足问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦解：<1）表示向量和x轴正向夹角为，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面<2）表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同<3）表示向量和x、y轴正向夹角都为，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行于z轴★12．已知与轴的夹角是，求。知识点：向量在轴上的投影解：根据投影公式★★13．一向量的终点为，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为，求该向量的起点的坐标。知识点：向量在坐标轴上的投影解：∵向量的

7、坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴上的投影，设起点为，则：★★14．求与向量平行，方向相反，且长度为75的向量。知识点：向量的坐标表示及代数运算解：由条件可得：，长度为75，∴∵和反向，∴，45/45习题7-3★★1．设，且两向量的夹角，试求。知识点：向量的数量积及其运算规律解：根据数量积的运算规律：，∵★★2．已知，求同时与垂直的单位向量知识点：向量的向量积解：∵由向量积性质：，∴为同时与垂直的向量∴所求单位向量为★3．设力作用在一质点上，质点由沿直线移动到，求此力所做的功<设力的单位为N，位移的单位为m）知识点：

8、数量积的物理意义解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为，∴★4．求向量在向量上的投影。知识点：向量在轴上的投影解：根据公式。★★5．设，问与有怎样的关系能使与z轴垂直？知识点：两向量垂直的充要条件解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z轴的单位向量，则★★★6．在杠杆上支点的一侧与点的距离为的点处，有一与成角的力作用着，在的另一侧与点的