空间向量的数量积运算.doc

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1、3.1.3空间向量的数量积运算教材分析本节课在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，引入了空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，介绍了空间向量的数量积的概念和计算方法、运算侓，并举例说明用向量解决立体几何中直线和平面垂直、直线和直线垂直、两点间的距离或线段长度等问题的基本方法步骤.本节课的重点是两个向量的数量积的计算方法及其应用，难点是如何将立体几何问题转化为向量的计算问题.b5E2RGbCAP课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间向量的数量积运算。教案目标教案重点：应用空间向量的数量积解决立体几何问题教案难点：应用空间向量的数量积解决异面直线所

2、成角的问题知识点：空间向量的数量积运算.能力点：在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用.p1EanqFDPw教育点：体会数学拓宽、发展的一种方法，亲身体验数学发现和创造的历程.考试点：用向量的数量积解决空间几何体的有关平行和垂直问题以及角和距离的计算问题.教具准备：多媒体及三角板课堂模式：学案导学一、新课引入：(由学生口答>1.平面向量的数量积定义:师：向量形式?生:师：坐标形式?生:若,则2.平面向量的夹角公式:师：若与是平面两非零向

3、量,它们的夹角为,夹角的余弦如何表示?生:3.平面向量的性质:师：两非零向量与垂直的充要条件是?生:师：两非零向量与平行的充要条件是?生:二、探究新知1.空间向量的数量积定义:(类比平面向量可得>向量形式坐标形式若,,则师：如何证明?生:4/4=…=2.空间向量的夹角公式:若与是空间两非零向量,它们的夹角为,则3.空间向量的性质:两非零向量与垂直的充要条件是:两非零向量与平行的充要条件是:三、理解新知1．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：；2．向量的模：设，则有向

4、线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；3．向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．DXDiTa9E3d4．空间向量数量积的性质：<1）．<2）．<3）．5．空间向量数量积运算律：<1）．<2）<交换律）．<3）<分配律）．四、运用新知：例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且求证：．证明：师：用非向量的方法证明线面垂直的判定定理，过程相当烦琐，如何用向量方法加以证明?生:

5、在内作不与重合的任一直线，在上取非零向量，4/4∵相交，∴向量不平行，由共面定理可知，存在唯一有序实数对，使，∴，又∵，∴，∴，∴，所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．[设计意图]：让学生体会到用向量的方法解决立几问题的优越性.例2．已知空间四边形中，，，求证：．证明：师：可以用那些方法来证明这个问题?生:<法一）用非向量的方法证明.生:<法二）．生:<法三）选取一组基底，设，∵，∴，即，同理：，，∴，∴，∴，即．师：上面那一种方法更简单?生:第三种.[设计意图]：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后

6、通过向量运算来计算或证明.RTCrpUDGiT例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。解：∵，∴∴，所以，与的夹角的余弦值为．[设计意图]：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！五、课堂小结:1.从平面向量数量积的定义、性质推广得到有关空间向量数量积的定义、性质(类比思想>。2.向量数量积解决几何问题有两种方式；3.向量数量积为解决立体几何中平行、垂直及有关角度等问题提供了一种新的方法；4.体现了几何问题代数化,即代数方法解决几何问题(数形结合思想>.4/4六、书面作业:必做题：1.下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③

7、④正确的个数为<）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是<）A.B.C.D.3.已知中，所对的边为，且,,则=4.已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是.5.已知向量满足，，，则____6.已知空间四边形中，，，求证：.选做题：7.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.5PCzVD7HxA参考答案：1B,2C，3，4-2<<2且0，5，6略，7.七、教后反思：在教案中，要明确要求学生用向量的方法解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的

8、夹角和线段长度的新方法，学生习惯用非向量的方法解决立体几何中证明垂