讲义导数方法.doc

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1、讲义：导数方法一.知识构要导数作为研究以函数为主体的数学问题的主要工具,有以下应用:1．研究单调性；2．求函数极值与最值；3．用导数的几何意义研究图像特征。另外，导数与证明不等式,研究一些方程的解等问题联系密切.这里我们将导数作为研究函数形态的主要工具选取例题说明。二.典例剖析引入欣赏一道色香味俱全的导数“小题”【例1】<2009年天津文）设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是<）A.B.C.D.【解读】知识要点1用导数研究单调性例2<2018年北京卷）已知函数(≥0>，求(>的单调区间。【解读】【例3】<2009年浙江20090423

2、卷）已知函数，，其中，设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；b5E2RGbCAP【解读】知识要点2用导数求极值或最值【例4】已知函数，其中．<Ⅰ）求函数的零点；<Ⅱ）讨论在区间上的单调性；<Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在求出最小值；若不存在，请说明理由．p1EanqFDPw【解读】知识要点3用导数研究函数图象【例6】已知函数．<1）求曲线在点处的切线方程；<2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．【解读】【例7】<2007年湖南卷）已知函数在区间，内各有一个极值点．

3、象<即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．DXDiTa9E3d解读：第二节构造辅助函数解题的魅力对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某范围恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，本节给出几种常用的构造技巧。RTCrpUDGiT1．直接构造【例1】实数k为何值时不等式对任意x恒成立？【解读】3/3【评注】还可有如下分析：从数形结合角度构造双函数：，求相切时的k值为

4、，然后将直线绕原点顺时针旋转到x轴<为的渐近线）即可，即5PCzVD7HxA与此相关的考题有：<1）<2005年北京卷）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.<2）<1998年西安电子科技大研究生试卷）讨论方程有几个实根。2．稍作变形后构造【例2】设函数。<Ⅰ）求函数的单调区间；<Ⅱ）已知对任意成立，求实数的取值范围。【解读】3．适当放缩后再构造【例3】已知，其中n∈N*，求证：对，当x≥2时，有f(x>≤x－1.【解读】4.化离散为连续再构造【例4】证明对任意的正整数，不等式都成立．【解读】5．二次构造【例5】已知函数.

5、调区间；<Ⅱ）若不等式对任意的都成立<其中e是自然对数的底数），求a的最大值.【解读】6．构造双函数【例6】证明对一切，都有成立.【解读】7.变换主元构造【例7】求和：.【解读】8.在解题过程中根据“解题发展形势”灵活构造【例8】已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：当时，。【解读】2018年辽宁卷理科第21题即据此题编拟：已知函数，

6、略【例1】<2018年新课标卷）设函数<1）若，求的单调区间；<2）若当时，求的取值范围【解读】【例2】<2018年新课标卷）已知函数，曲线在点处的切线方程为。<Ⅰ）求、的值；<Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.xHAQX74J0X【解读】其实，若溯源，此类试卷在这些年多有考查，如：<1）<2007年全国1卷）设函数，<Ⅰ）证明：的导数；<Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．【答案】<2）<2007年福建卷）已知函数<Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；<Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；<Ⅲ）设函数，求证：．【答案】<Ⅰ）递增区间是，递减区间

7、是；<Ⅱ）．<3）<2008全国Ⅱ卷）设函数．<Ⅰ）求的单调区间；<Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．【答案】<Ⅱ）．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。3/3