圆的综合运用.doc

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1、圆的综合（一）、知识要点1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型：①利用垂径定理；②直接作垂线构造直角三角形；③构造所对的圆周角；④连接圆心和切点；(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：122、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关

2、系时；(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：二、典型例题12能力提升类例1如图，⊙的直径与弦相交于点，交角为45°，若，求直径AB。评析：解答此题需注意应用数形结合的思想，熟练运用勾股定理和完全平方公式。例2如图，正方形内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，求的值。评析：本题考查了相交

3、弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被该点所分得的两线段的长的乘积相等”。熟记并灵活应用定理是解答本题的关键。综合运用类例3如图，已知直径与等边三角形的高相等的圆与三角形的边和边相切于点和，与边相交于点和，求∠的度数。例4已知△中，∠＝90°，边上的高线与△的两条内角平分线、12分别交于、两点，、的中点分别为、。求证：∥思维拓展类例5在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连结OD

4、．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径。评析：本题考查了运用待定系数法求函数解析式，同学们注意到分类讨论是解决本题的关键。例6已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙12B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切。评析：这道题考查了相切两圆的性质和射影定理的应用，以及中位

5、线的知识，对于这些重点知识，同学们应熟练掌握。总结：一、思想方法总结数形结合思想：将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法，特别是几何图形的直观性，能收到事半功倍的效果。转化思想：能将复杂图形转化为简单图形，将圆的有关计算问题转化为三角形、四边形的问题来解决。分类讨论思想：圆的有关概念、圆周角的有关求值及直线和圆、圆和圆的位置关系的讨论等问题均应用了这一思想。方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其他量，求一个量，运用了方程的思想。二、与圆有关的辅助线的添加规律：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切

6、点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，再运用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。遇到两圆相交，添加公共弦或连心线，特别是公共弦，它在相交的两圆中起着桥梁作用。巩固训练12（答题时间：60分钟）一、选择题1.如图所示，AB、AC与圆O相切于点B、C，∠A＝

7、50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（）A.65°B.115°C.65°和115°D.130°和50°2.如图所示，A是半径为5的圆O内的一点，且OA＝3，过点A且长小于8的弦有（）A.0条B.1条C.2条D.4条3.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相交C.相切D.以上三种情形都有可能4.给出下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个

8、内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形。其中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.45.如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以CE、DF为直径的两个半圆也均与x轴相切于点O，则图中阴