函数的单调性与曲线的凹凸性.doc

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1、§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法定理1设在区间上可导，则在上递增（减）的充要条件是.证若为增函数，则对每一，当时，有。令，即得。反之，若在区间上恒有，则对任意（设），应用拉格朗日定理，存在，使得。由此证得在上为增函数。定理2若函数在内可导,则在内严格递增(递减)的充要条件是:(1)有;(2)在内的任何子区间上.推论设函数在区间上可微,若,则在上(严格)递增(递减).注1若函数在内(严格)递增(递减),且在点右连续,则在上亦为(严格)递增(递减),对右端点可类似讨论.注2如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程的根及

2、不存在的点来划分函数的定义区间就能保证在各个部分区间保持固定符号，因而函数在每个部分区间上单调。注意：如果函数在区间上连续，在内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有（或），那么由于连续性，在区间上仍然是单调增加（或单调减少）的。5例如，的一阶导数，除在点等于零外，在其余的点都大于零，函数在整个区间内单调增加。又例如，，它的一阶导数除在点不存在外，在其余的点都大于零，从而函数在整个区间内单调增加。增增减图3-4-1例1设。试讨论函数的单调区间。解由于，因此当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增。利用函数的单调性，可以证明一些不等式。例1证明不等式证设，则。故当时，，严格

3、递增；当时，，严格递减。又由于在处连续，则当时，从而证得。一、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降。但是，曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题。曲线的弯曲方向我们用曲线的凹凸性来表述。下面我们就来研究曲线的凹凸性及其判定法。在有的曲线弧上,如果任取两点,则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上,而有的曲线弧,则正好相反..曲线的这种性质就是曲线的凹凸性.因此曲线的凹凸性可以用联结曲线上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述,下面给出曲线凹凸性的定义.定义1设在区间上连续,如果对上任意两点恒有5,那么称在上

4、的图形是(向上)凹的(或凹弧);相应的函数称为凹函数:如果恒有,图3-4-2那么称在上的图形是(向上)凸的(或凸弧),相应的函数称为凸函数.如果函数在内具有二阶导数,那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.定理3(曲线凹凸性的判定定理)设为区间上的二阶可导函数,则在上为凹(凸)函数的充要条件是几何解释：是凹弧；即单调增加。是凹弧；即单调减少。图3-4-35即曲线弧是凹（凸）弧的充要条件是：切线与轴正向夹角随增大而增大（减小）。设连续，若经过点变号，则=0。例1讨论函数的凹凸性区间解由于，因而当时；当时。从而在上为凹函数，在上为凸函数。定义2设曲线在点处有穿过曲线的切线.且在切

5、点近旁,曲线在切线的两侧分别是凸的和凹的,这时称点为曲线的拐点.由定义可见,拐点正是凸和凹曲线的分界点。拐点亦称扭转点。有关拐点的定理图3-4-4定理4若在二阶可导,则为曲线的拐点的必要条件是.定理5设在可导,在某邻域内二阶可导,若在和上的符号相反,则为曲线的拐点.必须指出:若是曲线的一个拐点,在的导数不一定存在,请考察函数在的情况.判定区间上的连续曲线的拐点的步骤:(1)求;(2)令=0,解出这方程在区间内的实根,并求出在区间内不存在的点;⑵解=0,得，并求出内不存在的点：；(3)对(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点,检查在左、右两侧邻近的符号,那么当两侧的符号相反时,

6、点是拐点,当两侧的符号相同时,点5不是拐点.⑶考察经过，时是否变号。例2求曲线的拐点及凹凸的区间。解函数的定义域为，解方程，得。把函数的定义域分成三个部分区间。在上,,因此在在上,这曲线是凹的。在上,,因此在在上,这曲线是凸的。是这曲线的两个拐点。例3问曲线是否有拐点？解。显然，只有是方程的根，但当时，无论或都有，因此点不是这曲线的拐点。曲线没有拐点，它在内是凹的。例4求曲线的拐点。解这函数在内连续，当时，，当时，都不存在。故二阶导数在内不连续且不具有零点。但是不存在的点，它把分成两个部分区间、。在上，，曲线是凹的，在，，这曲线是凸的。时，，点是这曲线的一个拐点。5