含参数函数不等式恒成立问题通性通法的探讨

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1、第３１卷第５期２０１２年５月数学教学研究２７含参数函数不等式恒成立问题通性通法的探讨张锐军（山西省长治第二中学０４６０００）据笔者不完全统计，截止２０１１年底全国案的解法认识与理解不到位、教学不到位致各种中学数学杂志针对本文题目１、题目２使学生想不到呢？这类问题源自哪里，本质第２问（通常称为含参数函数不等式恒成立是什么？中学阶段求解这类问题的通性通法问题）的解法刊发了近２０余篇文章，大多是到底是什么？（譬如文［１］、［２］、［３］）运用“最值法”、“分离１含参数函数不等式恒成立问题源自函数参数法”以及大学数学

2、的二阶导数、罗比达法的单调性，本质是比较函数值大小，对函数单则求极限等知识的方法给出解答，其中文［３］调性的讨论是求解本类问题的通性通法在指责高考参考答案的不自然、不大众化、技我们不妨回忆一下《人教Ａ版新课标教巧性过强的基础上，把“最值法”、“分离参数材模块１》第３８页关于《函数单调性》这一数法”作为通性通法．同时，笔者在一些学校调学概念的定义：如果对于函数ｆ（ｘ）定义域Ｉ研听课中，发现老师们讲解本类问题求解时内的某区间Ｄ上的任意两个自变量的值ｘ１，也总是把“分离参数法”或“最值法”作为通性ｘ２，当ｘ１＜ｘ２

3、时，都有ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）（或通法，笔者不否认学生学习了高阶导数、罗比ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２）），那么就说函数ｆ（ｘ）在区间达法则以及极限的知识，将这两种方法作为Ｄ上是增函数（或减函数）；如果函数ｆ（ｘ）在通性通法．区间Ｄ上是增函数或减函数，那么就说函数但现在的问题是，一方面，如果补充这些ｆ（ｘ）在这一区间Ｄ上具有严格的单调性．内容无疑加重了学生的学习负担，并不像文众所周知，任何数学概念的定义都具有［３］所说“无非是对函数求了二阶导数，对于判定和性质双重功能，函数单调性定义的性连续求导的思想学生应该能够理解

4、并掌握”质功能为：函数ｆ（ｘ）在区间Ｄ上具有单调那么轻松简单，并且这与新课标所倡导的减性，且ｘ，ｘ，ｘ，则一定有不等式１２∈Ｄ１＜ｘ２负增效理念是相悖的；另一方面，高考试题是ｆ（ｘ１）＜ｆ（ｘ２）（或ｆ（ｘ１）＞ｆ（ｘ２））恒成立．命题专家在研究课标、教材、考试大纲和学生显然，函数不等式恒成立问题源自函数的单实际基础上集体智慧的结晶，强调考查通性调性，其本质是比较两个函数值的大小，换句通法，淡化技巧，对中学数学教学应具有良好话说，函数不等式的恒成立取决于函数的单的导向作用是高考命题的原则之一，从高考调性．众

5、所周知，任何问题产生的同时均伴随提供的对本类问题的参考答案也可以看出并着解决该问题方法的产生，正如章建跃先生没有用到高阶导数、罗比达法则以及极限的多次提到的“只要把握了题目的本质结构，解知识．笔者不禁要问：高考参考答案的解法真决问题的方法也就产生了”，所以，我们可以的如同文［３］、文［４］所说“不自然、不大众肯定地说，解决函数不等式恒成立问题的本化”、“学生想不到”、“非解答本类问题的通性质方法（即通性通法）是对函数单调性的讨论通法”，还是我们教师对本类问题以及参考答与研究．２８数学教学研究第３１卷第５期２０

6、１２年５月一般地说，本文题目１、题目２第２问可为对“函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｈ（ｘ）单调性”的讨概括为：已知函数ｆ（ｘ），ｈ（ｘ），及区间Ｄ，论，使函数不等式恒成立问题成为这一过程ｘ∈Ｄ，ｆ（ｘ）＞ｈ（ｘ）（ｆ（ｘ）＜ｈ（ｘ）），求参数的自然流露（一种或多种情况）．ａ的取值范围．根据以上分析，问题自然转化我们把这一讨论过程总结如下：最后，总结反求出使函数不等式ｇ（ｘ）＝倡导的并要求师生认真领悟的：函数是中学ｆ（ｘ）－ｈ（ｘ）＞０（＜０）恒成立的参数ａ的取数学的主线，函数的单调性是最基本的性质，值范围．需要说

7、明的是函数ｇ（ｘ）（ｘ∈Ｄ＝是求解函数极值、最值的基础）；而不能过分［ｍ，ｎ］）的单调性，不一定仅上述所列的４种地强调“分离参数法”或“最值法”形成强定势情况，可能更复杂，那只能是具体问题具体分而干扰通性通法的运用．析了．ｌｎｘ１由（Ⅰ）知ｆ（ｘ）＝＋．令２本文题目１与题目２高考参考答案就是ｘ＋１ｘ设法构造出易判断导函数符号的函数，并紧ｌｎｘｋｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－＋（ｘ－１ｘ）紧盯住对该函数单调性讨论求解的，而不是运用不少老师们反复强调的“分离参数法”、＝ｌｎｘ－１－ｌｎｘ－ｋｘ＋１ｘｘ－１ｘ“最值法”２－２

8、ｘｌｎｘ＋（１－ｋ）ｘ＋ｋ－１针对文［４］中提到的“高考参考答案第２＝２，（ｘ－１）ｘ问解法中学教师和中学生接受都有点困难”，其中ｘ＞０，且ｘ≠１，则为师生们更好的理解与掌握高考参考答案解４ｘ３ｌｎｘ＋（１－ｘ２）［（１－ｋ）ｘ２＋２ｘ＋ｋ－１］法，笔者对题目１、题目２高考参考答案解法ｇ′（ｘ）＝ｘ２（ｘ２－１）２．从教与学的角度作点粗浅的解读与改写，不要判断ｇ′（ｘ）的符号，虽然ｇ′（ｘ）表达式当