含参数不等式恒成立问题的求解探讨.doc

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1、含参数不等式恒成立问题的求解探讨含参数不等式恒成立问题的求解探讨Lezzxl“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角两数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用“两数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应川判别式法解题。例1.已知关于X的不等式(in4m5)x4(ml)x30对一切实数x怛成立，求实数m的取值范I韦1.解：⑴

2、当m4m50时，即m1或m5,显然m1时，符合条件，m5不符合条件；(2)当m4m50时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得2Hi4m50,,解得1m19.2216(m1)12(m4m5)02222综合(1)(2)得，实数m的取值范

3、韦

4、为1,19.a0注：一般地二次函数f(x)axbxc恒正,02aOf(x)ax2bxc恒负.0例2・设f(x)x2mx2,当x[1,)时，f(x)nr恒成立，求实数m的取值范1韦1。解:设F(x)x2mx2m,则当x[1,)时，F(x)0恒成立当4(m1)(m2)0即2m1时,F(x)0显然成立；当0时，F(x)0恒成立的

5、充要条件为:220F(1)0解得3m2<2m12综上可得实数Hl的取值范殉为［3,l)o二、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最値，进而求出参数范围。这种方法木质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2)f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max例3.若函数f(x)x6x(3Qx在0,2上为增函数，求a的取值范围。42解：Tf'(x)4x12x(3a).•.f'(x)4x12x(3a)0在0,2上恒成立，33即a34x

6、12x在0,2上恒成立3令g(x)4x12x,/.g，(x)12x120,x1/.g(x)可能的最小值为g(0)、g⑴、g(2)32a3g(0)a30/.a3g(l)U

7、Ja38/.a11a3g(2)a38注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4.i_L知当xR时，不等式a+cos2x〈54sinx+a成立，求实数"的取值范

8、韦I。解:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(xR),另一变量a的范围即为所求，故可考虑将红及x分离。分析：原不等式即：4sinx+cos2x

9、的最人值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。22f(x)=4sinx+cos2x二2sinx+4sinx+l=2(sinx1)+33,/.a4a+5>3即a4>a+2a20a204上式等价于5a40或，解得a<8.55a4025a4(a2)说明：注意到题目中出现Tsinx及cos2x,而cos2x=l2sinx,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。三、更换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例5.设不等式2x1m(x1)对满足m范围

10、.22,2的一切实数ni恒成立，求x的取值解：设f(m)实数H1恒22(xl)m(2x1),则不等式2x1m(x1)对满足m2,2的一切成立f(in)0对m2,2恒成立.当f(2)2(x21)(2x1)02x22x10,即2,1-x/Jl+x/3f(m)02f(2)2(x1)(2x1)02x2x30x故xV3+1的取值范围是.解得X1X122注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于x的不等式讨论，此种解法因计算繁琐易出错；若变换一个角度，以ni为变量，使f(m)(xl)ni(2x1),则问题转化为求—•次函数(或常数函数)f(m)的值在2,2内恒为负时，参数x

11、应满足的条件——“换位”思考优势明显.四、数形结合法如果不等式屮涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易咖岀时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.一般地有：1)f(x)g(x)函数f(x)图象怛在函数g(x)图象上方；2)f(x)g(x)函数F(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例6：不等式ax2x(4x)在x［0,3］内恒成立，求实数红的取值范囤。x(4x)解：ifflj出两个I水［数f(x)ax和g(x)当Q3x［0,3］吋总有axx(4x)所以a3例7.设f(x)围.x24x,g(x)4x1a,若恒有f(x)g(x)成立,求实数a的取值范3解

12、：在同一宜