线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化.ppt

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1、相似矩阵的概念主要内容相似矩阵的性质矩阵对角化的步骤第三节相似矩阵1则称矩阵A相似于矩阵B.一、相似矩阵的概念定义7设A,B为n阶方阵,P为n阶可逆矩阵,且P-1AP=B,对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.2而矩阵B相似于矩阵C,则矩阵A相似于矩阵C.(1)自反性即一个矩阵与它自身相似;(2)对称性即若矩阵A相似于矩阵B,则矩阵B也相似于矩阵A;(3)传递性即若矩阵A相似于矩阵B,二、相似矩阵的性质相似描述了矩阵之间的一种关系,这种关系具有下面的性质:3因而A与B有相同的特征值、相同的行列式.相似矩阵具有下列性质：

2、下设A，B是同阶矩阵.定理3若矩阵A与矩阵B相似,则

3、A-E

4、=

5、B-E

6、,证明只需证A与B有相同的特征多项式即可。由于A与B相似,所以,必有可逆矩阵P,使得P-1AP=B,4=

7、A-E

8、.证毕故

9、B-E

10、=

11、P-1AP-P-1EP

12、=

13、P-1

14、

15、A-E

16、

17、P

18、推论若n阶方阵A与对角矩阵=diag(1,2,···,n)相似，则1,2,···,n即是A的n个特征值.定理若矩阵A与矩阵B相似,且矩阵A可逆,则矩阵B也可逆,且A-1与B-1相似.5即A-1与B-1相似.证毕由定理3,若矩阵A与矩阵B相似,则detA=detB,所以,当detA

19、0时,必有detB0,即A可逆时,B也可逆.设P为可逆矩阵,且B=P-1AP,则B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1P,证明6些运算.不难验算,记为.在矩阵的运算中,对角矩阵的运算很简便,如果一个矩阵能够相似于对角矩阵,则可能简化某例如,如果令7的性质,可得的可逆矩阵P?下面我们就来讨论这个问题.如果我们要计算A10或An,直接计算,运算量很大也不易找出规律.利用A相似于对角矩阵那么,是否每个矩阵都能相似于对角矩阵?如果能相似于对角矩阵,怎样求出这个对角矩阵及相应8定理4n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.证必要性设有可逆矩阵

20、P,使得P-1AP=,其中=diag(1,2,···,n).将矩阵P按列分块,令P=(p1,p2,···,pn),则由P-1AP=,得AP=P,即9因而Api=ipi,i=1,2,···,n,因为P为可逆矩阵,所以p1,p2,···,pn为线性无关的非零向量,它们分别是矩阵A对应于特征值1,2,···,n的特征向量.10充分性由必要性的证明可见,如果矩阵A有n个线性无关的特征向量,设它们为p1,p2,···,pn,对应的特征值分别为1,2,···,n,则有Api=ipi,i=1,2,···,n以这些向量为列构造矩阵P=(p1,p2,·

21、··,pn),则P可逆,且AP=P,其中=diag(1,2,···,n),即P-1AP=.证毕11相似于对角矩阵.证由第二节的定理2可知，不同的特征值对应的特征向量线性无关,因而,当A有n个不同的特征值时,必有n个线性无关的特征向量,故A能证毕则A必能相似于对角矩阵.推论若n阶方阵A有n个不同的特征值,12一定能对角化.对于n阶方阵A,若存在可逆矩阵P,使P-1AP=(为对角矩阵),则称A能对角化.对于能对角化的矩阵，我们称求对角矩阵和可逆矩阵P使P-1AP=的过程为把矩阵A对角化.由前面的讨论可知,当A的特征方程没有重根时,A一定能对角化;当

22、A的特征方程有重根时,这时A不一定有n个线性无关的特征向量,所以A不13n1+n2+···+ns=n.三、矩阵对角化的步骤设n阶方阵A可对角化，则把A对角化的步骤如下：步骤1：求出矩阵A的所有特征值，设A有s个不同的特征值1,2,···,s，它们的重数分别为n1,n2,···,ns,有14步骤2:对A的每个特征值i,求(A-iE)x=0的基础解系,设为(i=1,2,···,s).以这些向量为列构造矩阵则P-1AP=.15上的元素(A的特征值)之间的对应关系.要注意矩阵P的列与对角矩阵主对角线例1设有矩阵(1)问矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P

23、和对角矩阵,使P-1AP=.(2)使P-1AP=成立的P,是否唯一，举例说明.16（1）矩阵A的特征多项式为解所以A的三个特征值分别为:17当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.18当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.19当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.20因为线性无关即三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以令则用初等变换求逆矩阵A可对角化.21此时且有P-1AP=.22（2）使P-1AP=成立的P,不唯一.如若取则此时亦有P-1AP=.用初等变换求逆23例2设问x为何值时，矩阵A能对

24、角化？解求