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1、八年级数学·下新课标[翼]第二十二章 平行四边形学习新知检测反馈22.4矩 形（第1课时）观察思考一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,不管怎么拉,它还是一个平行四边形吗?为什么?学习新知有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形.下面我们先来看一些图片,考虑什么样的图形是矩形.请同学们观察上面的图片,思考下面的问题:(1)这些图形有哪些共同特点?(2)什么样的图形是矩形?你能给矩形下个定义吗?提问:如图,矩形A'B'C'D'的边、角、对角线方面是否有不同于一般平行四边形的特殊性质?你能得出有关性质的猜想吗?猜想：猜想1:矩形的四个角都是直角
2、;猜想2:矩形的对角线相等.追问:你能证明这些猜想吗?思考你能证明猜想1吗？在矩形ABCD中,AB∥CD,∴∠BCD=180°-∠ABC=90°,∠ADC=∠ABC=90°,∴∠BAD=∠BCD=90°(平行四边形的对角相等).思考已知:如图所示,矩形ABCD中∠ABC=90°.求证:∠BAD，∠ADC，∠BCD都是直角.你能证明猜想2吗？已知:如图所示,AC和BD是矩形ABCD的对角线.求证:AC=BD.思考证明:在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD(全等三角形对应边相等)
3、.矩形性质1矩形的四个角都是直角.用符号语言表述为:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.小结矩形性质2矩形的对角线相等.用符号语言表述为:∵AC和BD是矩形ABCD的对角线,∴AC=BD.提问:矩形中有哪些三角形?它们分别是什么三角形?它们之间有什么关系?如图找出其中的直角三角形与等腰三角形,并说出全等的三角形,面积相等的三角形.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.用符号语言表述为:在Rt△ABC
4、中,BO是斜边AC上的中线,∴BO=AC.思考追问:如图,在直角三角形草地上修两条互相交叉的小路BO,EF,路口端点处E,F,O分别为三角形草地的三边中点,小路BO,EF的长度相等吗?请说明理由.(1)直角三角形中,斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形,这两个等腰三角形的面积相等.知识拓展(2)在直角三角形中,如果遇到斜边的中点,可以考虑利用这一性质.(3)直角三角形斜边上的中线的性质一般可以用来证明线段相等或线段的倍分问题.例：(教材例1)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=4.求矩形对角线的长.解:∵四边形
5、ABCD是矩形,∴AC与BD相等且互相平分,∴OA=OB.又∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形.∴OA=AB=4.∴AC=BD=2OA=8.例：(补充)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证OE=OF.例：(补充)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=CF,连接OE,OF.求证OE=OF.证明:∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=∠BCD=90°,AC=BD,OD=BD,OC=AC.∴OD=OC.∴∠ODC=∠OCD.
6、∴∠ADC-∠ODC=∠BCD-∠OCD,即∠EDO=∠FCO.又∵DE=CF,∴△ODE≌△OCF.∴OE=OF.课堂小结图形定义性质边角对角线平行四边形有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形对边平行且相等对角相等、邻角互补对角线互相平分矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分1.用矩形纸片折出直角的平分线,下图中的折法正确的是()检测反馈解析:根据矩形的性质和图形折叠的性质,知选项A,B,C中折痕没有平分直角,只有选项D符合.故选D.D2.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若A
7、B=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.20解析:由勾股定理,得AC=13,因为BO为直角三角形斜边上的中线,所以BO=6.5,由题意易知MO是△ADC的中位线,由中位线的性质定理得MO=2.5,所以四边形ABOM的周长为6.5+2.5+6+5=20.3.如图,已知矩形ABCD,点E为矩形外一点,且AE=DE.求证BE=CE.3.如图,已知矩形ABCD,点E为矩形外一点,且AE=DE.求证BE=CE.证明:∵AE=DE,∴∠EAD=∠EDA,由四边形ABCD是矩形得AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°,∴∠EAD+∠BAD=∠EDA+∠CDA,
8、即∠BAE=∠CDE,在△ABE和△DCE中,∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.课堂小结请同
