sobolev方程的cn全离散化有限元格式

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1、2013年2月计算数学第35卷第1期Feb．2013MATHEMATICANUMERICASINICAVo1．35，No．1，●●●●●，、●●●●●＼钆Sobolev方程的CN全离散化有；限元格式)李宏周文文方志朝(内蒙占大学数学科学学院，呼和浩特010021)摘要首先给出Sobolev方程关于时间二阶精度的Crank—Nicolson(CN)时间半离散格式，然后直接从时间二阶精度的CN时间半离散格式发，构造CN全离散化的有限元格式，并给出这种时间二阶精度的CN全离散化有限元解的误差估计．本文

2、研究方法使得理论证明变得更简便，也是处理Sobolev方程的一一种新的尝试．关键词：时间二阶精度；时间半离散Crank—Nicolson格式；Sobolev方程；有限元方法；误差分析MR(2000)主题分类：65N30，65M30，76M101．引言设Qc是有界的连通凸多边形区域，考虑下面常系数的线性Sobolev方程问题I．求使得对于T>0满足，t)一eAu~(x，Y，t)一~Au(z，，t)，(z，Y，￡)，(X，Y，t)∈Q×(0，]，t)=(，Y，)，(X，Y，t)∈Q×(0，]，(1．

3、1)0)=UO(，)，(，)∈Q，其中(，Y，t)是未知函数，是总体时间，E和是两个正常数，／(x，Y，t)是源函数，(z，Y，t)和Uo(X，Y)分别是已知的边值和初值向量函数．为了便于理论分析，不失一般性，不妨假定(，Y，t)=uo(x，Y)=0．Sobolev方程是流体力学中的鼋要方程之一，在许多实际工程领域中有着广泛的应用，如它可以用来描述流体穿过岩石或土壤及不同介质中的流体运动，土壤中湿气的迁移等(参见【1-3])．然而在实际应用中，Sobolev方程的计算域往往是不规则的，或问题本身

4、比较复杂，因此要想求出其解析解是很困难的，有效的方法是求其数值解．目前已经有一些用有限元方法来处理Sobolev方程的报道，如利用H一Galerkin有限元，扩展有限元方法等(参见f4-10])，除了时空有限元方法将时间和空间变量统一考虑外(参见[7])，其他有限元方法时间的离散都是一阶精度，而且所有做的全离散化研究，都是先做空间方向离散，然后在此基础上对时间进行离散．据我们所知，目前还没有对Sobolev方程做时间二阶精度的Crank—Nicolson(CN)时间全离散化有限元方法的研究报道．

5、本文构造Sobolev方稗全离散格式的方法是：先给出方程关于时间二阶精度的CN时间半离散格式，然后直接从该时间半离散格式出发，构造出CN全离散化的有限元格式，绕开传统半离散化有限元格式，证明2012年5月29日收到)基金项目：国家自然科学基金项目(11061021)、内蒙占自治区高等学校研究项(NJ10006)和内蒙占自然科学基会项目(2012MS0106)资助．1期李宏等：Sobolev方程的CN全离散化有限元格式41这种时间二阶精度的CN全离散化有限元解的误差估计．这种研究方法使得理论证明变

6、得更简便，也是处理Sobolev方程的一种新的尝试．本文的安排如下，第2节给出Sobolev方程关于时间二阶精度的CN时间半离散格式及其误差估计；第3节直接从时间二阶精度的CN时间半离散格式出发构造CN全离散化的有限元格式，并证明CN全离散化有限元解的存在唯一性、稳定性和误差估计；第4节利用简单算例验证CN格式的有效性；最后给出本文结论．2．Sobolev方程关于时间二阶精度的CN时间半离散格式及其误差估计却，+本文用到的Sobolev空间都是标准的(参见【11】)．设U=础(Q)，则问题I的变

7、分形式为下面所述．∞问题II．求u(t)：[0，T]满足1={【u(，．v)+、ea(u幻?+=(，)1(2．1)，，Y，0)=0，(，Y)∈，其中a(u，V)=(Vu，vv)，(·，·)表示。(Q)中的内积．显然问题II存在唯一的解(参见【1—3])，而且有llu．IIL(日)+ltl0≤ll^IIL。(L)，(2．2)其中l1．m(日z)是空间H(0，；H(Q))的范数，C=,／2／min{1，2￡，7)．对于正整数Ⅳ，设k=／Ⅳ为时间步长，钆是在t三nk点关于时问的半离散化逼近(n=0，1

8、，⋯，Ⅳ)，=(”+un-1)／2．如果问题II的时间微商ut在t=t处用向后一步的差商Otu=(一7．tn-1)／k逼近，则问题II关于时间二阶精度的CN时间半离散格式为下面所述．问题III．求u∈U满足(2．3)注意到在础(Q)中，II．II1与lIV(·)l10是等价，即存在常数c和使得(参见【12—14])CIIVvll0≤1Ivll1≤C=llVvll0，Vv∈明(Q)问题II关于时间二阶精度的CN时间半离散格式问题III，有下面的结果．定理1．问题III存在唯一的解∈U，而且当．厂∈