有限元分析中的最优离散化

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第23卷第3期VO1．23№3力学进展1993年8月25日ADVANCESINMECHANICSAug．25，1993垄塑重虎大学(邮政编码6300,：14)02、z／f提要系统的最优离散化具有很大的实用价值和理论意义．采用这种方法可以用最少的自由度得到最精确的数值解．本文给出了两种有代表性的方法，并收集了一些应用实例，其中包括笔者和刘永成，朱建中在Zienkiewicz指导下所作的一些工作．这种方法作为一种重分析方法不仅可用于线性问题，而且也可以用于具有表面非线性的弹性接触问题．关键词立坠垂±垂优离墼叠层单元1引言在

2、有限元分析中，已经广泛采用各种网格自动生成方法．然而这类方法一般只能给出均匀分布或逐步加密的有限元网格，常常不能反映出不同求解区域能量密度的明显差异．从工程分析的需要出发，总希望能在能量密度大的区域局部加密网格或局部增加高阶自由度，但不必重新划分全部网格，也不需要逐步过渡．这样的问题不仅具有很大的实用价值，而且具有重要的理论意义．因为从数学上说，有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一种数值方法，归根到底是一个泛函极值问题．如果人为地任意划分网格，设置节点自由度，则只能在既定的离散系统下变动场函数在各点上的值，使其能量泛函达到极值．而最优离散化则不仅使场函数(节点

3、变量)的值可变，而且使节点坐标、节点交量的类型及节点自由度数在一定范围内可变，从而更精确地求得极值．这是一个高度非线性的极值问题．McNeice和Marcal“提出了最优离散化命题．Babuska首先在这方面提出了实用方法．Turcke和McNeice，Pedersonn。。，Carroll¨等也研究了一些经典问题阻引．最优离散化一开始即沿着两个方向发展：局部加密网格即收敛方法}局部增加高阶自由度即收敛方法．前者的代表是Peano提出的分级节点来实现单元增殖的方法，后者的代表是Irons提出的叠层单元(hierarchicalelement)方法．但70年代中期提出

4、的这些方法当时并未获得广泛应用．主要原因是难于判定在什么区域需要加密网格或增加高阶自由度．O1iveira“首先提出在应变能密度变化最大的区域增设单元(或增设高阶自由度)的方法，即首先按照初始网格，求出场函数节点值，根据其分布情况计算其应变能密度，并绘制出等能量线，从而判定哪些区域需要加密网格．有时甚至可以利用这种等能量线及其正交·336·维普资讯http://www.cqvip.com线族自动形成新的单元．Molinari和Vivieni⋯认为这种单元就是近似的最优离散化的有限元．Melosh和Marcal认为比较简单的方法是直接在能量密度大的地方加密网格．也有人

5、主张用主应力线、最大剪应力线等来判断．然而所有这些方法都必须经过多次反复试算，因而存在计算工作量太大的缺点．而且这种方法只适合于仅有一种外载的情况．，对于组合加载的情况就很难确定网格加密区域．同时，采用这类方法，在同格加密以后，一般要全部或局部重算刚度矩阵，重新求解新的方程组．由于这些原因，网格局部加密和其他最优离散化方法没有得到广泛应用．这些方法在8O年代重新引起人们重视并成为热门话题，其原因是出现了有限元误差估计方法．根据这种方法，在经过l一2次试算后即能找到局部加密网格或者局部增加高阶自由度的求解区域，从而有条件地实现最优离散化．在这方面，zienkiewic

6、Z，Babuska，Keiiy和Gago等人作了许多工作．‘，”．笔者及朱建中、刘永成在ZienklewicZ的直接帮助下分别就基于p收敛和收敛方法的最优离散化问题作了一些工作，并且首次应用于接触问题，取得了较为满意的结果C7F82．2叠屡单元的应用在普通等参数单元族中，无论Sirendlplty单元族，还是Lagrangc单元族，当增加高阶形函数时，低阶形函数必须修改．即增加高阶节点自由度时，原有的单元刚度阵元素全部改变，必须重新形成．而且增加高阶自由度时要求各个单元均增加，或者设置专门的过渡单元，这样很不方便．如采用hierarchical形函数，则不存在这样的

7、限制．这种新的形函数当增加高阶形函数项时，其低阶项不作修改，各高阶项是逐层叠加上去的，而随着阶次增高，其对近似解的贡献按其重要性来说是递减的．有了这种形函数及相应的叠层单元族便可以方便地在需要的地方增加高阶自由度，无需过渡单元便能保证连续性和保续性．甚至同一个节点的不同坐标方向都可以是不同阶次的形函数．2．1对叠层多嘎式形函数的基本要求基本要求为。①分层叠加，即增加高阶自由度时，不需要修改低阶形函数；②阶次越高，该项对近似解的贡献的重要性越小，◎形函数和节点变量仍然满足下述关系：Ⅳ＆=∑N口(1)但必须指出，节点变量口不一定是节点位移，因而不要求形函数满足关系=