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1、1998年8月第19卷第4期JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience)Aug.1998Vol.19.No.4离散广义线性系统的最优控制"张秀华①张庆灵②(东北大学黃金爭魄■忱阳110015){东北大学理孕竟■比阳110006)»要研究离散广义系统的最优控制问题•针对等价系统，提出新的二次性能指标，给出离散广义系统在二次性能指标下存在线性最优控制的充分必要条件•推广了正常系统的结果.关權词离散广义系统，李雅普诺夫净优控制]分类号oIS*'了离散广义线性系统的最优控制问♦1997-11-07收到.①女・34
2、■讲师；②男，40,教授.国家自然科学基金(编号；69574004)和辽宁省科学技术基金(编号：95168)资助项目.在正常系统下二次性能指标存在线性最优控制的等价条件是该系统能稳定，而在广义系统中,除此条件外，还要加上脉冲能控的条件•王朝珠、王恩平对广义线性二次最优控制采取了分为带有脉冲模和不带脉冲模的两种情形来讨论⑴"，对广义离散线性系统的最优控制分成快、慢子系统,利用局部极大值原理⑶来处理•最近张庆灵利用等价变换对广义系统的最优控制进行了新的探索⑷，不需要对系统进行分解，却使变换后的系统不显含有脉冲行为.本文就是在此基础上研究1系统的变换及预备知识
3、离散广文系统为Ex{t+1)=Ar(z)+Bu(t)Ij(/)=Cz(£)I式中,h,u,y分别是系统的n维状态、观维输入和/维输岀，E,A,B是相应阶数的矩阵•假定离散广义系统(1〉正则，即det(zE-A)差0,则有实数“，使(“E-A)7存在.设E-AE,A=(引E-A)7A,_B=(2ToE-A〉7b有A=zq£-I,A£=£Adet(；z£-A)=det(zoE-A)_1det(zE-A)式(1)受限等价于：£x(t+1)=Ax(r)+1则离散广义系统(1)与(2)有相同的稳定性.对于E,A,存在可逆矩阵T,使TfiT"1=diagtf?!，£
4、2J(3)TAT"1=diagtAuAz](4)其中,E]为mXnI阶可逆矩阵，f?2为«2X“2阶無零矩阵，即存在非负整数h,使E；H0,铲=0.Al=-IlfA.2=乂0左2-(5)记fiTTT=其中，Bl和fi2分别是并iX加阶和(无—«i)Xm阶分块矩阵,得到：£ijti(/+1)=Aijci(/)+(6a)左2工2(f+1)=人2工2(f)+h2u(t)(6b)其中，工―—釘T"于是，£A+1x1(r+l)=A1£^x1(O+£*S1«(/)(7a)0=人2左：工2(£)+砖色“(f)(7b)同时有；护“+1)=A£Ar(£〉+E淤(门⑻式(8
5、)就是一个不显含非因果性的系统.引理1下面几个条件是等价的.①离散广义系统仃)是渐近稳定的；②离散广义系统(2)是渐近稳定的；③慢子系统(6a)是渐近稳定的；④慢子系统(7a)是渐近稳定的；⑤离散广义系统(8)是渐近稳定的.构造离散广义系统(2)的李雅普诺夫函数为v[£*+2x(/)]=丿(门(針乜厂谚+2工(£)(9)这里V>0为nX„阶半正定矩阵.当左"2工(门H0时，有V>0,当£A+2x(/)=0时，V(0)=0.令式(2)中的«=0,得£r(f+1)=Ajr(f)(10)对式(9)求差分，并利用式(10)得AV=V[£^2jt(/+1)]-讥&
6、^文(门]=xT(/)[AT(£**l)Tv£AnA-(护+2)Tv£^2]工(£)=XT(£)(£*+2)TWfi**2X(O得到下面的李雅普诺夫方程.AT(£^1)Tv£A*1A-(£A+2)Tv£4*2=-(£A+2)Tw£^2(11)对于给定的对称矩阵weRnX有对称解矩阵VGRnXn.下面来研究式(11)的解.类似文献[5]•可得到如下引理.引理2李雅普诺夫方程(11)对于给定的W有解V的充分必要条件是：对于任意给定的W=Wj有解V=VT.由此可见，式(11)的解是对称的，定理1离散广义系统(1)渐近稳定的充分必要条件是：李雅普诺夫方程(11
7、)对于任意给定的W>0有解V>0.证明由引理2可记：T*tVT*v2-
8、wj‘(12)必要性:将式(3),(4)代入式(11)得到：人⑻“卩匕當久-(當2)丁匕£：-(即)5片2id：(當沉勺當i二仏(群"厂叭£：“=%有:A；%A「抚匕耳=£：片£(13)(14)因为£,可逆•所以式(14)就是正常离散系统的李雅普诺夫方程.由引理1知,离散广义系统(1)渐近稳定等价于(£nAt)渐近稳定，对wn0,有叫>0,而耳是可逆矩阵,从而有叫>0,由式(14)知，有唯一的正定解&1>0,即式(13)有唯一的正定解Vi>0.令V2=0,由V3的任意性，取耳>0,则
9、V>0为李雅普诺夫方程⑴)的正定解，必要性得证.充分性:因为式(11)对任意给定
