离散时间最优控制

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1、离散时间的最优控制针对随机系统按最优化方法设计控制器。假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类问题称为线性二次型（LinearQuadratic）控制问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声，且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声，这类问题称为线性二次型高斯（LinearQuadraticGaussian）控制问题。最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最优估计器；另一部分是最优控制规律。其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确定性系统；二是考虑随机的过程干扰v和量测噪声w，

2、设计状态最优估计器。1最优控制规律设计(1)有限时间最优调节器设计设连续被控对象的离散化状态方程为初始条件给定二次型性能指标函数线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列（k＝0，1，…，N－1），在把初始状态x(0)转移到x(N)的过程中，使性能指标函数最小。求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进行求解。动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需要决策的是控制变量（k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指标函数其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。首先求解，以使最

3、小。求对u(N－1)的一阶导数并令其等于零：由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有进一步求得最优的控制决策为其中得依次，可求的、、…、。其中计算公式归纳：最优性能指标为满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。其中利用以上公式可以逆向递推计算出S(k)和L(k)。(2)无限时间最优调节器设计设被控对象的状态方程为当N→∞时，其性能指标函数简化为其中是非负定对称阵，是正定对称阵。假定［A，B］是能控的，且［A，B］是能观的，其中D为能使DTD＝Q成立的任何矩阵。计算机控制系统的最优设计，最经常碰到的是离散定常系统终端时间无限的最优调节器问题。当终端时间N→∞时，矩阵S(k)将趋于某个

4、常数，因此可得到定常的最优反馈增益矩阵L，便于工程实现。存在，且是与无关的常数阵。或：的解，那么对于任何非负定对称阵，有①设S(k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程可以证明有以下几点结论：③稳态控制规律是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制规律，最优性能指标函数为④所求得的最优控制规律使得闭环系统是渐近稳定。②S是如下的黎卡堤代数方程或：的唯一正定对称解。该结论说明了：当满足上述结论中所给条件时，最优的反馈控制规律是常数阵；并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径，它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解，也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同

5、时也可以看出，结论条件“是正定对称阵”可以放宽到“是非负定对称阵”。例考虑离散系统：其中：设计最优控制器，使性能指标：最小。解选和，。通过MATLAB仿真，可解得两种情况下的最优反馈增益矩阵为：(a)权矩阵较小的情况(b)权矩阵较大的情况解选，和。通过MATLAB仿真，可解得两种情况下的最优反馈增益矩阵为：(a)权矩阵较小的情况(b)权矩阵较大的情况2状态最优估计器设计目前有许多状态估计方法，这里介绍Kalman滤波器。设被控对象的离散状态空间表达式为其中：x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，y(k)为r维输出向量，v(k)为n维过程干扰向量，w(k)为r维测量噪声向

6、量。假设v(k)和w(k)均为离散化处理后的高斯白噪声序列，且有设V为非负定对称阵，W为正定对称阵，并设v(k)和w(k)不相关。(1）Kalman滤波公式的推导由于系统中存在随机的干扰v(k)和随机的量测噪声w(k)，因此系统的状态向量x(k)也是随机向量，y(k)是能够量测的输出量。若记x(k)的估计量为问题：如何根据输出量y(k)估计出x(k)则：为状态的估计误差，因而为状态估计的协方差阵。显然P(k)为非负定对称阵。这里估计的准则为：根据量测量y(k)，y(k－1)，…，最优地估计出X(k)，以使P(k)极小（因P(k)是非负定对称阵，因此可比较其大小）。这样的估计称为最

7、小方差估计。根据最优估计理论，最小方差估计为即x(k)最小方差估计等于在直到k时刻的所有量测量y的情况下x(k)的条件期望。引入更一般的记号若，表示根据直到现时刻的量测量来估计过去时刻的状态，称为内插或平滑；，表示根据直到现时刻的量测量来估计将来时刻的状态，称为预报或外推；，表示根据直到现时刻的量测量来估计现时刻的状态，称为滤波。这里所讨论的状态最优估计问题即是指滤波问题。引入如下记号；k－1时刻的状态估计；k－1时刻的状态估计误差；k－1时刻的状态估计误差协方差阵；一步预报估计