离散时间信号和离散时间系统

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1、2.1离散时间信号——序列2.2离散时间系统2.3系统的稳定性和因果性2.4离散时间信号和系统的频域表示2.5序列傅里叶变换的对称性质2.6连续时间信号的采样2.7Z变换2.8系统函数2.9系统的信号流图第2章离散时间信号和离散时间系统西北大学信息科学与技术学院2007年2.1离散时间信号——序列2.1.1序列的定义2.1.2常用的基本序列2.1.3序列的基本运算西北大学信息科学与技术学院2007年2.1.1序列的定义信号在数学上定义为一个函数，这个函数表示一种信息，通常是关于一个物理系统的状态或特性的。信号的函数表示是

2、关于一个或几个独立变量的，关于一个独立变量的信号称为一维信号，关于多个独立变量的信号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信号是一维信号x(t),一般情况下x(t)为随时间变化的信号，简称时间信号或时域信号。西北大学信息科学与技术学院2007年若t是定义在时间上的连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号可以通过对连续时间信号的采样得到,这种情况下把信号记为x(nT)，T表示的是采样点之间的时间间隔，n是一个整数。离散时间信号可以表示成

3、下列形式：｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...西北大学信息科学与技术学院2007年在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为：｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...{x(n)}定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，{x(n)}没有定义，但并不表示信号值为零。从数学的角度看，上面的定义式表示一个序列，因此也把离散时间信号称作离散时间序列，简称序列。西北大学信息科学与技术学院2

4、007年序列除了数学表达式外，还常常采用图形方式来表示，如图2.1所示。虽然横坐标画成一条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才有意义。图2.1离散时间信号的图形表示西北大学信息科学与技术学院2007年离散时间信号在幅度上定义成连续的，如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值的信号称为“数字信号”。因此，离散时间信号并不等于数字信号，但由于数字信号是幅度量化得到的，在数学表示和推导中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用离散时间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。西北大学信息科学与技术学院200

5、7年2.1.2常用的基本序列1.单位取样序列δ(n)的定义简单而精确，是一个真实的物理信号，而δ(t)采用的是极限定义，是一种纯粹的数学抽象，不表示一种实际的信号。西北大学信息科学与技术学院2007年2.单位阶跃序列u(n)可以表示成很多移位的δ(n)序列之和：u(n)也可以用来表示移位的δ(n)：西北大学信息科学与技术学院2007年3.实指数序列其中，a为实常数，它的绝对值一般小于1。西北大学信息科学与技术学院2007年4.矩形序列该序列称为矩形序列，也称作“矩形窗”，其中，N称为窗的宽度。可以用来得到一个有限长(宽)

6、序列，通过下式运算把一个无限长或很长序列变成长度为N点的序列，的图形如下图所示：西北大学信息科学与技术学院2007年5.正弦和余弦序列正弦序列定义为余弦序列定义为其中，A为信号的最大幅度，ω称为序列的数字频率，如图是一个正弦序列的图形表示。西北大学信息科学与技术学院2007年若其中，是整数,N为大于零的整数。称是一个周期为N点的周期序列，这个周期对应的数字频率为ω=2π/N，下面以余弦序列为例来证明数字频率和周期的关系。假设余弦序列可以写成只有当时，其中均是正整数，上式才成立，即该余弦序列是一个周期序列，周期等于，否则，

7、该余弦序列不是一个周期序列。西北大学信息科学与技术学院2007年分析这一条件，可以写成当上式为整数或有理数时，余弦序列才是周期序列，若为无理数，序列就不是周期序列。因此，判断一个正弦或余弦序列是否是周期序列的方法是：用2π除以它的数字频率ω，若得出的是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出的是无理数，序列就不是周期序列。但无论序列是否为周期序列，仍把ω称作序列的数字频率。西北大学信息科学与技术学院2007年下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。设模拟余弦信号为对该以T为采样间隔进行采样离散,得将离散后的信号表示成离散余

8、弦序列，即西北大学信息科学与技术学院2007年可知或其中，称为采样频率。该式即为数字频率ω和模拟频率Ω，f之间关系式，它们是依靠采样间隔T或采样频率进行关联的。可以得到整理后可得上式的意义是倍采样周期等于倍信号周期，当均为整数时，序列的周期是。整理后可得西北大学信息科学与技术学院2007年数字频率的特点：（1）ω是一