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1、预备知识•弹性力学问题的基本假设一、连续性假设弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际工程材料细观粒子结构。1.物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。2.物体在整个变形过程中始终保持连续，即：定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。二、弹性假设弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失。应力小于弹性极限时应力
2、应变关系是线性的。服从虎克定律。小变形情况下，应变和位移导数间的关系是线性的。三、均匀性假设物体在各点处的弹性性质都相同。四、自然状态假设假设物体不受外力作用和温度的影响，物体便没有应力和变形，即不考虑由于制造工艺引起的残余应力和装配应力。预备知识•弹性力学问题的矩阵表示一.基本物理量T位移：uu=[vw]%一.基本物理量T应变：εε=⎡⎣xyεεzγxyγyzγzx⎤⎦%一.基本物理量T应力：σσ=⎡⎣xyσσzτxyτyzτzx⎤⎦%二.场方程微分算子几何方程：ε=Lu%%%⎛⎞∂00⎜⎟∂x⎜⎟0
3、0∂⎧εx⎫⎜⎟∂y⎪⎪ε⎜⎟⎪y⎪⎜⎟00∂⎧⎫u⎪⎪∂z⎪⎪⎪εz⎪ε=Lu=⎜⎟⎨⎬v=⎨⎬⎜⎟∂∂γ%%%∂∂yx0⎪⎪⎩⎭w⎪xy⎪⎜⎟⎪⎪γ⎜⎟∂∂⎪yz⎪0⎜⎟∂∂zy⎪⎪γ⎩⎭zx⎜⎟⎜⎟∂∂0⎝⎠∂∂zx⎛⎞∂∂00⎧u⎫⎜⎟∂∂xx⎪⎪⎧⎫εx⎜⎟00∂∂⎪v⎪⎪⎪⎜⎟∂∂yy⎪⎪ε⎪⎪y⎜⎟⎪⎪⎪⎪ε⎜⎟00∂∂⎧⎫u⎪w⎪⎪z⎪⎪∂∂zz⎪⎪⎪⎨⎬⎨==⎜⎟v⎬⎨⎬γ⎜⎟∂∂∂uv+∂⎪xy⎪⎪∂y∂∂x0⎩⎭w⎪⎪y∂x⎪⎪⎪⎪⎜⎟⎪γ⎪yz⎪⎪⎜⎟∂∂∂vw∂⎪0+⎪⎪⎪⎜⎟
4、∂zy∂∂z∂y⎪γ⎩⎭zx⎜⎟⎪⎪⎜⎟∂∂0∂uw+∂⎝⎠∂z∂∂xz⎩⎪∂x⎭⎪二.场方程弹性矩阵物理方程：σ=Dε%%%⎛⎞νν⎜⎟100011−−νν⎜⎟⎧⎫⎧⎜⎟ν⎫σεx1000x⎪⎪⎪⎜⎟−⎪1νσε⎪y⎪⎪⎜⎟y⎪⎪⎪⎪⎜⎟1000⎪⎪σ⎪⎪E()−⎜⎟ε⎪⎨z⎬⎨=1ν−z⎬12νσ=Dε=⎪τγxy⎪⎪()11+−νν(2)⎜⎟−00xy⎪⎜⎟21()ν⎪⎪⎪⎪τ⎜⎟−γ%%%yzyz⎪⎪⎪12ν⎪⎜⎟0⎩⎭⎪τ⎪⎪−⎩γ⎭⎪zx⎜⎟对称21()νzx⎜⎟−12ν⎜⎟⎜⎟⎝⎠21()
5、−ν这里，假设材料是各向同性的。注：γ,,γγ表示工程切应变，xyyzzx它们与张量切应变ε,,εεxyyzzx的关系为：γ==22εγ,,εγ=2εxyxyyzyzzxzx在平面问题中弹性矩阵：⎡10ν⎤0E0⎢⎥D=10%()1−2⎢⎥ν0对称⎢⎣()12−ν⎥⎦0对平面应力问题：EE=,ν=ν00平面应变问题：2EE=()11−=ν,νν(−ν)000二.场方程平衡方程：TLσ=f%%%T⎛⎞∂00⎜⎟∂x⎜⎟00∂⎧⎫σx⎜⎟∂y⎪⎪σ⎜⎟⎪⎪y∂⎧f⎫⎜⎟00⎪⎪x∂z⎪⎪σz⎪⎪⎜⎟⎨⎬⎨=
6、f⎬y⎜⎟∂∂τ∂∂yx0⎪xy⎪⎪f⎪⎜⎟⎪⎪⎩⎭zτ⎜⎟∂∂⎪⎪yz0⎜⎟∂∂zy⎪⎪τ⎩⎭zx⎜⎟⎜⎟∂∂0⎝⎠∂∂zx三.边界条件SSU=SσuSSI=φσu三.边界条件力边界：TT=inS%%σ位移边界：uu=onSu%%Chap.1有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理第1章有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理本章重点和应掌握的内容微分方程的等效积分形式及其“弱”形式的实质和构造方法，任意函数和场函数应满足的条件。不同形式加权余量法中权函数的形式和近似解的求解步骤，以及Gale
7、rkin法的特点。线性自伴随微分方程的变分原理的构造方法和泛函的性质，以及自然边界条件和强制边界条件的区别。经典Ritz方法的求解步骤、收敛条件及其局限性两种形式虚功原理（虚位移原理和虚应力原理）的实质和构造方法。从虚功原理导出最小位能原理和最小余能原理的途径，各自的性质以及场函数事先应满足的条件本章含盖三节内容：§§1.1.11微分方程的等效积分形式微分方程的等效积分形式§§1.1.22加权余量法加权余量法§§1.1.33变分原理变分原理§§§1.1微分方程的1.1.11微分方程的微分方程的等效积分形
8、式等效积分形式等效积分形式微分方程：微分方程是联系自变量x,未知函数u(x)2mdududu和它的某些阶导数,,...,2mdxdxdx的关系式：2mdududuF(x,u,,...,)=0mdxdxdx二阶微分方程：椭圆型微分方程抛物型微分方程双曲型微分方程微分方程：椭圆型微分方程：定常态物理现象抛物型微分方程双曲型微分方程微分方程：椭圆型微分方程：物理平衡和定常态抛物型微分方程：物质扩散等不可逆双曲型微分方程微分方程：椭圆型微分方程：物
