有限单元法的基本概念和理论基础

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1、<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang有限单元法的基本概念和理论基础王晓军航空科学与工程学院固体力学研究所<<结构分析中的有限单元法>><<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang有限元法的基本思想(1)有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。（a）三角形单元（b）四边形单元二维结构的有限元离散<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang（a）四面体单元（b）

2、六面体单元三维实体的有限元离散有限元法的基本思想<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang(2)有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。(3)有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边

3、界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。有限元法的基本思想<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang某型飞机前机身Catia模型图有限元法的应用实例<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang某型飞机前机身有限元模型图有限元法的应用实例<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang某型飞机全机有限元模型图有

4、限元法的应用实例<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang结构离散（有限元建模）内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为结点约束和结点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形---单元的几何特性2）一个单元内的物理特性必须相同---单元的物理特性有限元法的基本概念<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang单元与结点单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域结点：单元与单元间的连接

5、点。结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力结点载荷：作用于结点上的外载荷注意：1)结点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；2)结点力与结点载荷的差别结点载荷结点力有限元法的基本概念<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang非法结构离散有限元法的基本概念不同材料结点不合法<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang典型单元类型单元类型单元图形结点数结点自由度杆单元22梁单元23平面单元32

6、平面四边形42轴对称问题32板壳单元46四面体单元43有限元法的基本概念<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang插值函数（或位移函数）有限元法的基本概念用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采

7、用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang有限元法的收敛准则收敛准则：1)位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）；2)位移函数必须包括常量应变（即线性项）；3)位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）；4)位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）；在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。注：上

8、述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。<<结构分析中的有限单元法>>ByXiaojunWang影响有限元解的误差：1)离散误差边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。单元数目←→计算量2)位移函数误差一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。3)计算机计算误差计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。有限元法的收敛准则<<结构分析中