1-有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理

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1、有限单元法－FiniteElementMethod东北大学土木工程系主讲教师：李鑫手机：13609813860E-mail：lixinedu@mail.neu.edu.cn弹性力学预备知识1.弹性力学问题的基本假设(1)连续性假设弹性理论同其他宏观物理学一样，不考虑实际工程材料细观粒子结构。物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。物体在整个变形过程中始终保持连续，即：定义在该连续介质上的物理性质和物理量除了在某些孤立的点、线、面上可能奇异或间断外，在变形过程中始终保持为空间点位的连续函数。弹性力学预备知识1.弹性力学问

2、题的基本假设(2)均匀性假设物体在各点处的弹性性质都相同。(3)各向同性假设物体在同一点处所有各个方向上的力学性质都相同，与考察的方向无关。(4)小变形假设物体的变形相对物体的结构尺寸非常微小，应变与位移导数的关系是线性的（几何线性）。弹性力学预备知识1.弹性力学问题的基本假设(5)无初应力（自然状态）假设物体在未受外力和温度的影响，物体没有应力和变形。(6)（完全）弹性假设弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程中存在一一对应的单值函数关系，且载荷卸去后变形完全消失。大多数工程材料在应力小于弹性极限时应力与变形的关系是线性的——线弹性少数材料的弹性应力-应变关系是非线性的——非线

3、性弹性弹性力学主要讨论线弹性体弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(1)基本物理量位移：Tu=[uvw]应变：Tε=εεεγγγxyzxyyzzx应力：Tσ=σσστττxyzxyyzzx弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(2)平衡方程∂∂στ∂τxyxzx+++=f0x∂∂∂xyz∂∂∂τστxyyzy+++=f0y∂∂∂xyz∂∂τσ∂τxzyzz+++=f0z∂∂∂xyz弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(2)平衡方程Aσ+=f0()在V内∂∂∂σx000∂x∂∂yzσyf0x∂∂∂σz0

4、00+=f0y∂y∂∂xzτxyfz0∂∂∂τyz000∂z∂∂yxτzx弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(3)几何方程∂u∂v∂wε=ε=ε=xyz∂x∂y∂z∂∂uvγγ=+=xyyx∂∂yx∂∂vwγγ=+=yzzy∂∂zy∂∂uwγγ=+=zxxz∂∂zx弹性力学预备知识∂00∂x2.弹性力学问题的矩阵表示∂00(3)几何方程εx∂yεy∂00uεz∂z=vγ∂∂ε=Lu()在V内xy0wγ∂∂yxzyz

5、γ∂∂zx0TLA=∂∂zy∂∂0∂∂zx弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(4)物理方程——应力-应变关系σ=DεD-弹性矩阵νν100011−−νννσεxx10001−νσεyy1000σεzz=E(1−ν)12−ν对00τγxy(1+−νν)(12)21(−ν)xyτγyz12−νyz称0τγzx21(−ν)zx12−ν21(−ν)弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(4)物理方程σελ+

6、2Gλλ000xxσελλ+2G000yyσελ+2000Gzzσ=Dε=τγ对G00xyxyτγ称G0yzyzτγzxGzx拉梅(Lame)常数EEνG=λ=21(+ν)(1+−νν)(12)弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(4)物理方程ε=CσC-柔度矩阵−1CD=弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(5)边界条件力的边界条件Sσ——已知外力几何边界条件（位移边界条件）Su——已知位移弹性体的全部边界S=Sσ+Su弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(5)

7、边界条件——力的边界条件TTxx=TTyy=TTzz=Tnn=++σττnxxxyyxzzxTn=++τστnnyxxyyyzzyTn=++ττσnnzxxzyyzzznx,ny,nz——边界外法线的方向余弦Tx,Ty,Tz——边界上单位面积的内力TTT——边界上已知单位面积上作用的面积力xyz弹性力学预备知识2.弹性力学问题的矩阵表示(5)边界条件——力的边界条件TT=()在S上Tn=σσσxσyn00nn0Txyzxσz00nnn0=T