有限元法-1-泛函与变分.ppt

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1、第五章有限元法内容：基于变分原理，介绍有限元法。以线性静态场中一阶有限元的应用为重点，引伸到非线性场、时谐场中的分析，以及等参数有限元法的应用。1特点能处理复杂区域和复杂边界条件的求解问题。是求解微分方程的系统化数值计算方法。比传统解法具有理论完整可靠.物理意义直观明确.解题效能强。2历史历史1943年Courant提出有限元思想。20世纪50年代初期，有限元法在复杂的航空结构分析中最先得到应用，1960年Clough(克拉夫)在其著作中首先提出有限元法（finiteelementmethod，简称FEM）这个名称。3应用以变分原理为基础的有限元法，因其理论依据的普遍性，广泛地被

2、应用于各种工程领域：热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等。4电气工程领域的应用1965年Winslow首先将有限元法应用于电气工程问题，1969年Silvester将有限元法推广应用于时谐电磁场问题。至今有限元法已经成为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的主导数值计算方法，是构成各种先进、实用计算软件包的基础。55.1概述基本思想：传统的有限元法以变分原理为基础。首先把所要求解的微分方程数学模型——边值问题，转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的

3、代数方程组；解之即得待求边值问题的数值解。6有限元法的核心在于：剖分插值。将连续场分割为有限个单元，然用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是，它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对于内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。7此外，由于变分原理的应用，使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足。即自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，惟一需考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，进一步简化了方法的构造。8有限元法的主要特点

4、是：（1）离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。故基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，应当可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。9（2）优异的解题能力。与其它数值计算方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况复杂的问题求解上，有突出的优点。即方法应用不受上述二个方面复杂程度的限制。不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；二、三类边界条件不必作单独的处理。此外，离散点配置比较随意，并且取决于有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，

5、可以充分保证所需的数值计算精度。10(3)可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，适应计算功能延拓的需要，从而即可构成各种高效能的计算软件包。(4)从数学理论意义上讲，有限元法作为应用数学的一个重要分支，很小有其它方法应用得这样广泛。它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。11有限元法的内涵也在不断延拓：自从1969年以来，在流体力学领域中，通过运用加权余量法导出的伽辽金法或最小二乘法同样得到了有限元方程。为提高数值解的计算精度，在高阶有限元法的应用范畴中，除了常用的基于拉格朗日多项式构造基函数的等参数有限元法外，还延拓构成了以B样条函数基

6、为基函数的B样条有限元法。B样条有限元法的提出，不仅保证了以位函数为待求量的数值解的高精度，而且保证了与物理场特性相一致的场量数值解的连续性。12把有限元法与其它数值方法相结合而构成的组合法，经常是解决特定问题的有效途径。例如，鉴于三维静态磁场分析的需要，由有限元法与数值积分法相组合而成的单标量磁位法，校正了三十余年来简化标量法有误的构造模式。数学理论的发展也为有限元法注入了新的活力，1970年，以A.M.Arthurs为代表提出了互补变分原理，形成了泛函的所谓双边值问题，产生了互补、对偶有限元法。这样，通过泛函极大与极小值问题的近似数值解，简单地求其算术平均值，即可获得充分逼近

7、真实解的理想计算结果。135.2变分原理从介绍有关泛函、变分问题和变分法等数学概念着手，阐述有限元法的变分原理，为有限元法基本原理的讨论提供必要的数学基础。以加权余量法为基础导出的伽辽金有限元法则将在矩量法中展述。145.2.1泛函与变分问题数学上，通常变量与变量间的关系称为函数，而泛函则是函数集合的函数，也就是函数的函数。例如，静电场的势函数f(r)是定义在坐标空间的函数集，系统电场总能量U(ϕ(r))则是定义在该函数集中的一个泛函，可记I(ϕ(r))。15与多元函数的极值问题