有限元第2讲：加权余量法.pdf

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1、湖南大学机械与运载工程学院HunanUniversityCollegeofMechanical&VehicleEngineering崔向阳第2讲:加权余量法从微分到积分前面说过，微分方程不太容易直接求解，只好另觅蹊径！高老爷子有办法，微分方程难搞，积分容易啊把微分方程弄成积分形式试一下？微分方程的等效积分形式高斯对于一个问题，可以归结为在一定的边界条件(或动力问边界Γ题的初始条件)下求解微分方程的解，这些微分方程为问题的控制方程在问题域Ω内Lu()f0问题域Ω在边界Γ上Bu()g0微分算子待求的未知与未知函数u无关的欲求解问

2、题函数已知函数域值有限单元法崔向阳微分方程的等效积分形式由问题描述可知：边界Γ在问题域Ω内：Lu()f0（1）对于任意函数W有：WLu()fd0（2）问题域Ω(2)式是(1)式的完全等效积分形式欲求解问题在边界Γ内：Bu()g0（3）保证式(5)可积的条件：对于任意函数V有：VBu()gd0（4）1）W和V以函数自身形式出现；(4)式是(3)式的完全等效积分形式2）在Ω和Γ上为单值可积函数；对于整个问题都满足的等效积分形式为：3）u可以以导数和偏导数形式出现，取WLu()fdVB

3、u()gd=0（5）决于微分算子L和B的最高阶次有限单元法崔向阳近似场函数边界Γ返回我们的问题：在问题域Ω内Lu()f0在边界Γ上Bu()g0问题域Ω当我们面对复杂的实际问题时，精确解往往是很难找到，怎么办？欲求解问题我们可以采用近似场函数替代精确场函数，进而得到具有一定精度的近似解，这种近似场函数叫做试函数。假设u为精确场函数，u为近似场函数，则未知场函数可表示为：基函数的要求：待定系数，真正的求解目标1）取自完备函数集；问题的自基函数由度2）线性独立；nuuaii3）要满足强制边界条件i1和连续性的

4、要求。有限单元法崔向阳4加权余量法近似场函数带入原问题的控制方程，由于近似解是不能满足精确微分方程式或全部边界条件式的，他们将产生残差(也叫余量)：在问题域Ω内RILu()f它们反映了试函数与真实解之间的偏在边界Γ上RBu()g差，它们分别称做内部和边界余量。B用n个规定的函数来代替任意函数W及V:WW，VW，近似场函数的IiBi微分方程组及其边界条件的等效积分形式:积分形式:WLuIi()fdWBiBu()gd=0(i1,2,,)n余量形式:WRdWRd0(i1,2,,)nIi

5、IBiB上式实际意义是通过选定待定系数a强迫余量的加权积分值等于零W及Wi，，IiBi称为权函数，这种方法就叫做加权余量法。有限单元法崔向阳5加权余量法对上式展开，可得到一组余量的加权积分方程组:WRdWRd0I11IBBA11A12A1na1b1WRdWRd0I22IBB展开AAAab21222n22整理AAAabn12nnnnnWRdWRd0InIBnB解方程组，得到近似解的待定系数a，从而得到原

6、问题的近似解答。i近似函数所取试探函数的项数n越多，近似解的精度将越高；若n趋于无穷，近似解将收敛于精确解。近似场函数对结果的影响如何？近似场函数如何取？有限单元法崔向阳6加权余量法根据选取近似场函数的不同，余量RI和RB可有如下三种情况：1）近似场函数满足边界条件：RBu()g0B消除余量的积分方程可改写为:WRIiId0(i1,2,,)n内部法2）近似场函数满足控制方程：RILu()f0消除余量的积分方程可改写为:WRBiBd0(i1,2,,)n边界法3）近似场函数既不满足控制方程，也不满足边界体

7、检消除余量的积分方程为:WRdWRd0(i1,2,,)nIiIBiB混合法有限单元法崔向阳7加权余量法这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足：内部法：对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对于复杂的边界，这一方法就很不方便。边界法：由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的泛定解，比较困难。混合法：对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适应，缺点

8、是计算工作量较大。总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程，复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多。有限单元法崔向阳8加权余量法加权余量法