加权余量法和变分法建立有限元方程

《加权余量法和变分法建立有限元方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、加权余量法和变分法建立有限元方程分片定义试函数和有限元法直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。例如假设温度、位移是线性变化的，因此在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易化成等效的节点热流和端点力。直接法形式上把连续区域化为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。这种方法对计算结果的收敛性、误差和试函数选取的要求没有进行讨论。Lϕ+p=0在D内Mϕ+γ=0在Γ上用加权余量方法，选取近似函数Mϕ≅ϕˆ=ψ+∑Nmamm=1建立加权余量公式∫∫W(Lϕˆ+p)dD+W

2、(Mϕˆ+γ)=0llDΓ该方法在整个区域定义试函数和建立加权余量公式，只能求解比较简单的问题。e可以设想把整个求解区域D划分为若干个互相既不重合，也不分离的子区域D之和。这些子区域叫e做有限元。然后在每个有限元内部分别构造近似函数ϕˆ、选取加权函数。当然在不同的有限元内部可用不同的方法构造近似函数，对整个区域建立的加权余量公式，就可以写成各个子区域公式之和，即EEeeee∫WlRDdD=∑∫WlRDdD=∑∫Wl()Lϕˆ+pdDDe=1Dee=1DeEEeeeˆe∫WRdΓ=∑∫WRdΓ=∑∫W(

3、)Mϕ+γdΓlΓlΓlΓe=1Γee=1Γe由于上式把全域的积分写成子域积分之和，所以对被积函数提出了一定的要求，要求被积函数在子域之间的边界上满足一定的连续性。有限元法分片选取试函数，它们在各自的子区域中一般都具有足够的连续性，使被积函数满足要求，关键是在子区域之间的交界面上能否满足要求。分片选取的试函数需要满足：1如果在积分中只含未知数本身，不含导数，在有限元之间试函数本身可存在有限间断；2如果在积分中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导C数可存在有限间断，称为0阶问

4、题；3如果在积分中对未知函数的最高阶导数是二阶，在有限元之间试函数本身及其一阶导数C连续，二阶导数可存在有限间断，称为1阶问题；4如果在积分中对未知函数的最高阶导数是n阶，在有限元之间试函数本身及直至其C(n-1)阶导数连续，n阶导数可存在有限间断，称为n−1阶问题。CCC（常用的是0阶、1阶问题，特别是0阶问题。）采用了分片定义的近似函数，整个区域中的加权余量公式可写成各个子区域（有限元）的加权余量公式之和，每一子区域中的加权余量公式表示在各个子区域上方程近似满足，整个区域中的加权余量公式表示整个区

5、域中方程近似满足。整个系统的方程是由各有限元方程的组合、装配起来的，这就把一个连续问题化为若干小的离散单元的组合，然后可用标准离散系统的分析步骤求解。例子（1）一维线单元（2）二维三角形单元二维热传导问题有限元法∂⎛∂ϕ⎞∂⎛∂ϕ⎞Lϕ+p=⎜k⎟+⎜⎜k⎟⎟+Q=0在xxyyD内∂⎝∂⎠∂⎝∂⎠ϕ=ϕ在Γ上ϕ∂ϕk=−q在Γ上q∂n其加权余量公式为⎡∂∂ϕˆ∂∂ϕˆ⎤∂ϕˆ(k)+(k)WdD+WQdD+(k+q)WdΓ=0∫⎢⎥l∫l∫l⎣∂x∂x∂y∂y⎦∂nDDΓqmeϕˆ=∑NiϕiN整个求

6、解区域划分为有限元，上式可写成各有限元区域积分之和，要求i=1中的i在有限元之间的边界上是C1阶连续的，而Wl没有连续性要求，如果取Wll=N，就意味着要求Wl是C1阶连续的。将加权余量公式化为弱形式后有∂W∂ϕˆ∂W∂ϕˆll∫(k+k)dD−∫WlQdD+∫WlqdΓ=0∂x∂x∂x∂yDDΓq取Wl=Nl，显然，只要求Nl是C0阶的，对一个有限元有ee∂Nl∂ϕˆ∂Nl∂ϕˆe(k+k)dD−NQdD+NqdΓ=0∫∫l∫le∂x∂x∂x∂yeeDDΓq取⎧ϕ1⎫me⎪⎪eϕˆ=∑Niϕi=N1

7、ϕ1+N2ϕ2+L+Nmϕm=[][N1LNm⎨M⎬=N]{}ϕi=1⎪⎪ϕ⎩m⎭m是单元节点数，对于二维三角形单元，m=3N(,)xy是ix,y的函数，称为节点i的形函数对简单三角形单元，1N(x,y)=(a+bx+cy)iiii2∆1a=(xy−xy)ijkkj2∆1b=(y−y)ijk2∆1（∆是三角形面积）c=(x−x)ikj2∆e把ϕˆ的表达式代入有限元的弱形式，有m∂Nl∂Ni∂Nl∂Nie((kϕ+kϕ)dD)−NQdD+NqdΓ=0∑∫ii∫l∫li=1De∂x∂x∂x∂yDeΓeq写

8、成代数方程mee∑kliϕi=fl,l=1,2Lmi=1载荷和刚度系数分别为∂N∂N∂N∂Nelilik=k(+)dDli∫e∂x∂x∂y∂yDeef=NQdD−NqdΓl∫l∫leeDΓq写成矩阵形式为eee[Kf]{}ϕ={}下面来看刚度矩阵的具体表达1N=(a+bx+cy),l=1,2,3llll2∆∂N1∂N1ll=b,=cll∂x2∆∂y2∆形函数的一阶导数是常数，积分即乘以面积，ekkk=(bb+cc)dD=(bb+cc)∆li2lili∫2