有限元法的基本概念引例课件.ppt

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1、第二章一维问题有限元法——引例设有一根受自重作用的等截面直杆，上端固定，下端自由，如图所示。单位杆长的重力为q，杆长为L，横截面积为A，材料弹性模量为E。试求该直杆各横截面上的应力。材料力学的精确解答：用有限元法求解。第一步：用若干个分点将该直杆分割成为许多个有限长度的小微段（这里各小段的长度不一定相等），并将每个小段的重力等效地移置到分点上去。分点称为节点，小段称为单元，移置到节点后的荷载称为节点荷载。本例中分成3个小段。由材料力学解答可知，无论怎样分割该直杆，每个单元的位移都是x的二次函数。但若

2、节点较多，单元较短，对每个单元来讲，我们就可以用线性函数近似地描述实际的单元位移。我们用eij表示任一单元，其中e为单元编号①、②、③，ij为其两端点的节点编号12、23、34。设线性单元位移函数为其中，1、2为待定常数，可由该单元节点的位移值ui、uj来确定。单元位移函数也适于单元节点，则解得代回到前式中，并记{f}=u，得其中，(xj-x)/(xj-xi)和(x-xi)/(xj-xi)与x成线性关系，反映了单元的位移形态，称为形函数，并令Ni=(xj-x)/(xj-xi)，Nj=(x-xi)/

3、(xj-xi)记形函数矩阵为[N]=[NiNj]节点位移列阵为则有用节点位移表示的单元位移下面我们用虚位移原理把每个单元的重力等效地移置到节点上去。对单元eij，如果该单元重力荷载移置到节点i、j的节点荷载分别为Rie、Rje，规定沿坐标轴x的正向为正，那么，单元荷载移置就是要分析计算一下Rie、Rje的值。先求Rie。为便于计算，假设单元eij发生这样的虚位移：节点i沿x方向移动一个单位而节点j不动，即ui=1，uj＝0（如图）。按照我们设选的单元位移函数，单元虚位移与单元节点虚位移与实际位移的

4、关系式相同，即其中由于ui＝1，uj＝0，所以得单元虚位移为于是，单元重力所做虚功为Rie所做虚功为1Rie，Rje而不做功。根据虚功原理，移置前单元荷载所做虚功应该等于移置后节点荷载所做虚功，即有Rie＝(xj-xi)q/2同理，可求得Rje＝(xj-xi)q/2若记则单元荷载列矩阵为由此可见，只要把单元重力q(xj-xi)平均移置到节点上即可。对于本例，有R1①=R2①=R2②=R3②=R3③=R4③＝qL/6再考虑处于固定端的节点1还受有约束反力R=-qL，于是，单元荷载移置后，各节点

5、的节点荷载分别为第二步：用几何方程、物理方程与虚功方程分析单元的应变、应力和节点受力与节点位移的关系。由几何方程，有其中同样，记{}=，则有其中[B]=[BiBj]称为应变矩阵，它反映了单元应变与节点位移之间的关系。一维弹性问题的物理方程为＝E可写为{}=[D]{}其中，[D]=E为弹性矩阵。将用节点位移表达的单元应变表达式代入矩阵形式的胡克定律，得或其中[C]=[D][B]=[CiCj]=[[D][Bi][D][Bj]]即称为应力矩阵，它反映了单元应力与节点位移之间的关系。下面利用虚功

6、原理分析单元的节点受力与节点位移之间的关系直杆分割成3个单元之后，相邻单元之间的作用力通过节点来传递。我们把节点对单元和单元对节点的作用力都称为节点力，节点i、j处的节点力分别用pi、pj表示（右图），并规定节点对单元的节点力以沿x轴正向为正。对单元来讲，节点力为外力，若记则外力所做的虚功为而内力所做虚功为根据虚功原理，单元虚功方程为由于而单元虚应变与节点位移也满足单元应变与节点位移间的关系式，即所以，由单元虚功方程可得由于节点虚位移是任意的，所以，上式为若记则得其中[K]e为单元刚度矩阵，它反映了单

7、元的节点力与节点位移之间的关系。根据应变矩阵[B]和应力矩阵[C]，可计算单元刚度矩阵[K]e，由单元刚度矩阵表达式，可得其中第三步：由节点平衡方程建立并求解以节点位移为未知量的线性代数方程组由于单元对节点的节点力与节点对单元的节点力互为作用力与反作用力，所以，如果用pie、pje分别表示单元e对其节点i、j的节点力，那么，各节点的受力情况如图所示。可知令{R}=[R1R2R3R4]T称为总体荷载矩阵。要使单元节点力与节点荷载相等（静力平衡），须将单元刚度矩阵升阶：将它们代入静力平衡式中，使得到以节点

8、位移为未知量的线性方程组，即若记{}={u1u2u3u4}T,{R}={R1R2R3R4}T[K]=则得总体平衡方程（有限元基本方程）[K]{}={R}其中[K]——总体刚度矩阵，它反映总体节点位移与总体荷载之间的关系{}——总体节点位移列矩阵{R}——总体节点荷载列矩阵根据各单元刚度矩阵可计算总体刚度矩阵。由于各单元的长度均为L/3，则可得将总体刚度矩阵元素值及荷载列阵元素值代入总体平衡方程，得这个线性方程组不能直接求解，因为系数矩阵[K]是一个