有限元法基础-2理论基础ppt课件.ppt

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1、第二章有限元法的理论基础2.1微分方程的等效积分形式2.2等效积分的“弱”形式2.3加权余量法2.4变分原理2.5Ritz法2.6弹性力学的变分原理2.1微分方程的等效积分形式已知算子方程方程的解在域W中的每一点都满足算子方程和边界条件有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式算子设X和Y是同一数域P上的两个赋范线性空间，D是X的一个子集，若存在某种对应法则T，使对任意,有唯一确定的与之对应，则T称为X中D到Y的算子，或映射。D称为T的定义域，y或T(x)称为象，象的集合称为T的值域。算子方程设算子T的定义域为D，，值域为T(D),,等式称为算子方程。有限元法基础2.1微分

2、方程的等效积分形式将算子方程及边界条件在各自的定义域中积分，有有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式进一步改写为可以证明在积分方程对任意的v都成立的话，则积分项在域内每一点都满足算子方程和边界条件。称为算子方程的等效形式特点和是单值函数并且在定义域上可积u的选择取决于算子A和B有限元法基础2.1微分方程的等效积分形式例：二维稳态热传导方程等效积分方程有限元法基础2.2等效积分的“弱”形式对积分方程分部积分得到另一种形式C、D、E、F是微分算子，它们的导数阶数都比A低。积分方程特点对u的连续性要求降低了；对和的要求提高了。这种通过适当提高对任意函数的连续性要求，以降低对微

3、分方程场函数的连续性要求所建立的积分形式－－称为微分方程的等效积分“弱”形式有限元法基础2.2等效积分的“弱”形式例：二维稳态热传导假设实现满足边界条件，等效积分形式成为分部积分有限元法基础2.2等效积分的“弱”形式得到令有限元法基础2.3加权余量法由于实际问题的复杂性精确解难于找到，往往求近似解假设未知场函数u可用近似解表示为待定参数，为已知的试函数。代入算子方程有和是方程的残余量。取n个独立的函数作为v,得到n个方程，即有限元法基础2.3加权余量法基于等效积分“弱”形式的近似方法定义：采用使余量的加权积分为零来求解微分方程近似解的方法成为加权余量法（WeightedR

4、esidualMethod）根据权函数的选取方法，可得到各种形式的加权余量的求解方法，最常见的是伽辽金（Galerkin）法伽辽金法的特点是权函数与试函数取相同的函数形式有限元法基础2.3加权余量法取，在边界上可得积分形式的余量方程组注意到，可将上式改写为积分“弱”形式的方程组有限元法基础2.4变分原理线性自伴随算子算子方程在内，若算子有如下性质，和为任意常数则A为线性算子。定义内积对上式进行分部积分直至u的导数消失，即称为A的伴随算子，若称算子为自伴随算子。有限元法基础2.4变分原理例：证明是自伴随算子。构造内积，并分部积分由上式可见A＝A*.有限元法基础2.4变分原理

5、微分方程为利用线性自伴随算子的性质伽辽金法的积分方程为有限元法基础2.4变分原理综合上面的式子，有其中上式称为原问题的变分原理特点泛函中u的最高阶次为二次，故成为二次泛函；如果函数u及其变分满足一定的条件，能够得到全变分形式，从而得到泛函的变分。有限元法基础2.4变分原理例：二维热传导问题伽辽金法的积分方程为经分部积分，并注意到在ST上，有由此导出有限元法基础2.5Ritz法对于线性自伴随算子，存在等效的变分原理，有近似解法－－Ritz法设近似解为Ni为取自完全系列的已知函数，ai为待定参数。代入泛函中，得到由待定参数表示的泛函，关于泛函变分，有由变分的任意性的方程组有限

6、元法基础2.5Ritz法对于二次泛函得到的是线性方程组可以证明K是对称矩阵关于Ritz法的收敛性当试函数Ni(i=1,…,n)取自完备函数系列，且满足算子方程要求的连续性，当泛函单调收敛于，泛函具有极值。有限元法基础2.5Ritz法Ritz法应用中的难点求解域比较复杂时，选取满足边界的试函数往往产生难以克服的困难；为了提高计算精度，需增加待定参数，这增加了求解的复杂性；有限元法同样建立在变分原理的基础上的，可以有效地避免上述困难有限元法基础2.6弹性力学的变分原理弹性力学中的变分原理包括虚功原理、余虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、Hellinger-Reissner

7、（两场广义变分原理）、广义变分原理（胡-鹫原理）等。在一定条件下它们之间是可以相互等价的，如在真实解的情况下，最小势能原理＋最小余能原理＝0；在满足勒让德变换的条件下，广义变分原理与Hellinger-Reissner等价；在材料有势，外力有势时虚功原理与最小势能原理等价等等。有限元法基础2.6弹性力学的变分原理弹性力学的基本假设1）连续性假设物体抽象成连续密实的空间几何体，位移、应变、应力、能量等物理量作为空间点位置的函数定义在这个几何体上。物体在整个变形过程中始终保持连续。2）弹性假设弹性体的变形与载荷在整个加载和卸载过程