高等计算流体力学讲义(5).pdf

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1、高等计算流体力学讲义（5）§8.TVD格式一、背景1.求解线性波动方程u+==au0aconst的经典差分格式tx（1）一阶迎风格式（Firstorder）nn⎧uua−<0nn+1⎪jj+1uua=−⋅λ⎨，jjnn⎪uua−>0⎩jj−1Δt其中λ=。上式也可以写为：Δxnnnn+1uuff=−λ()−jjjj+−1/21/2aannnnnf=+()uu−−()uujj++1/21jj+1j22aannnnnf=+−−()uu()uujj−−−1/2jj1j122（2）Lax－Friedrichs格式（Firstorder）nn

2、+11nuujj−+()−+11ujuunn−2jj+−11+a=0ΔΔtx2或nnnn+1uuff=−λ()−jjjj+−1/21/2nnann1nf=+()uu−−()uujj++1/21jj+1j22λnnannnf=+−−()uu()uujj−−−1/2jj1j122λ（3）Lax－Wendroff格式（secondorder）uunn+1−(uunn−)at2Δjjjj+−11nnn+=au2()jj+−11−2u+uj。ΔΔtx22Δx或nnnn+1uuff=−λ()−jjjj+−1/21/22nnaannλnf=+()

3、()uu−−uujj++1/21jj+1j222nnaanλnnfu=+−−()()uuujj−−1/2j1jj−1221（4）Warming－Beam格式（Secondorder）uunn+1−(34uuunnn−+)at2Δjjjjj−−12nnn+=au2()jj−−21−20u+uja>ΔΔtx22Δxuunn+1−()−+−34uuunnnat2Δjjjjj++12nnn+=au2()jj++21−20u+uja<ΔΔtx22Δx2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。而一阶精度的格式通常会把激波“抹

4、平”。参见图1和图2的（a），（b）。图1线性对流方程的解图2我们希望，构造一种二阶或以上精度的格式，使之可以比较准确的计算含有间断的流动，同时不产生非物理的数值振荡。这种格式称为“高分辨率格式”（如图1的（c），（d），图2的（c））。23．单调格式单调格式是一种没有数值振荡的格式，它的定义为：定义：单调格式，设差分格式可以写为：n+1nnu=H(u,?,u)ii−r+1i+s（1）∂H≥0n∀j∂uj其中r,s为非负整数。如果，，则（1）式称为单调格式。一阶迎风和Lax－Friedrichs格式为单调格式。4．单调格式的性质{n

5、}{n+1}uu★已知i，利用单调格式（1）求得i，则：nn+1max{uu}≤max{}iiiinn+1min{uu}≥min{}iiiinn+1nmin{}uu≤≤max{}ujijjj∂∂uu★线性波动方程+a=0的差分格式：∂∂txkrnn+1ubik=∑ui+k（2）kk=l是单调格式的充分必要条件是∀k，b≥0。k★Godunov定理线性单调格式最多能达到一阶精度。5．保单调性nn+1n假定{u}是单调的，如果通过（1）式得到的{u}具有与{u}相同的单调性，则说差iii分格式（1）式具有保单调性。容易证明，（1）单调格

6、式具有保单调性，（2）不存在二阶或二阶以上精度的线性保单调格式。即如果（2）式为线性格式（b为常数）且具有保单调性，k则（2）式至多有一阶精度。6．所谓高分辨率格式，是具有保单调性的，二阶或二阶以上精度的格式。容易知道，这类格式必定是非线性格式，即使求解的方程是线性的。本节我们只介绍其中的一种典型高分辨率格式：TVD格式。二、TVD格式的概念TVD（TotalVariationDiminishing）格式即总变差减小（不增）格式。所谓总变差，是衡量函数的光滑性的一种指标，其定义为：∞TVu()=∫uxdx′()（3）−∞nn在离散点

7、上，uu={}，有：i3∞nnnTVu()=∑uii+1−u（4）i=−∞可以证明一维线性和非线性标量守恒律的解满足，TVut(())≤TVut(())∀>tt2121这种性质称为TVD性质。既然一维标量守恒律的解析解满足TVD性质，要求其数值解也具有TVD性质就是很自然的了。定义：TVD格式nnn+1uH=(uu,...,)（5）ii−+r1i+s称为TVD格式，如果nn+1TVu()()≤TVu∀n容易证明：TVD格式具有保单调性，所以在间断附近不会出现非物理振荡。三、TVD格式的构造1．TVD格式的充分条件和构造原则∂∂uf设

8、一维标量守恒律+=0的差分格式可以写成：∂∂txnn+1uuCuDu=−Δ+Δ（6）ii1111ii−−+ii+2222nn其中Δ=−uuunn。C，D不仅与Δx，Δt有关，而且与物理量ui，ui±1等有关。11ii+11i+i−i+