高等计算流体力学讲义(3).pdf

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1、高等计算流体力学讲义（3）§2Riemann问题1．预备知识：Euler方程解的结构我们讨论Euler方程解的结构。在上一节，我们已经得到，在均熵流动条件下，有±dxR=const，沿=u±adt（1）±2其中R=u±a。且全场γ−1Sc=onst。（2）在这种情况下，Euler方程的光滑解有如下几种可能。±21）在求解域中，Riemann不变量R=u±a均不为常数。γ−1这是最一般的情况，Euler方程的解比较复杂，通常无解析解。±22）均匀流：Riemann不变量R=u±a均为常数。此时，令γ−1±±R=R，0有：

2、+−uRR=+()/200γ−1+−，aR=−()R004可见，此时流动是均匀的。++−−3）简单波：有一个Riemann不变量在某区域内为常数（R=RorRR=）。00++以R=R的情况为例。此时0+2+R=ua+=R。（3）0γ−1dx且沿=−ua，有dt2u−=aconst。γ−1dx这个常数具体的数值与特征线的起点有关。由此我们知道，沿=−ua，有dt1+u=+()Rconst/20γ−1+。a=−()Rconst04dx这说明，沿=−ua，u和a均为常数，即特征线是直线。由均熵条件，密度ρ和压力pdttdx=

3、ua−dxdt=udtxdxdx沿特征线=−ua也为常数。参见上图，由于uau−<，所以流线=u（或流体质点）dtdtdx从左侧穿过特征线=−ua，这种简单波称为左简单波或向后简单波。简单波可以分为压dtdxG缩波和稀疏波（膨胀波）两类。设流线与=ua−交点处，流线的切线方向为ξ。把（3）dtG式沿ξ求方向导数，得：∂ua2∂+=0∂−ξγ1∂ξ∂u当>0，有∂ξ∂∂∂∂apρ()u−c<<<0,0,0,>0。∂∂∂ξξξ∂ξdx此时，压力密度沿流线减小，且特征线=ua−是发散的。这种简单波称为稀疏波。当dt∂u<0，

4、有∂ξ∂∂∂∂apρ()u−c>>>0,0,0,<0。∂∂∂ξξξ∂ξ2dxdx=u压缩dx=−uadt=udtdtt稀疏dx=ua−dtxdx此时，压力密度沿流线增加，且特征线=ua−是收敛的的。这种简单波称为压缩波。对dt−−于R=R的情况可类似讨论。04）中心稀疏波−dx中心稀疏波是一种特殊的简单波。以向左中心稀疏波为例R对应的特征线=−ua是通dt过某一点的中心直线族。设这一点的坐标为(0,0)，则特征线的方程为：x=ua−（4）t设左中心稀疏波的左边界（波头）的特征线为x=ua−，11t右边界（波尾）特征线为

5、x=ua−。22t另外，由简单波定义，还有+2+R=ua+=R。（5）0γ−1显然，+22R=+ua=+ua，（6）01122γγ−−11这就是波头波尾状态之间的关系。此外波头波尾之间还满足等熵关系SS=。（7）12由（4）、（5）式可得左中心稀疏波的状态分布γ−12+xuR=+[]0γγ++11tγ−1+xxaRu=−+[],au≤≤+a01122γ+1tt压力和密度可由等熵条件得出。右中心稀疏波的讨论类似。35）激波和接触间断当流场中存在间断时，Rankine-Hogoniot关系为：[FD]=[U]TUu=(,,

6、)ρρρE。（8）2TFu=+(,ρρup,)ρuH假定间断两侧速度是连续的，则必有+−Duu==。这种间断称为接触间断。由Rankine-Hogoniot关系易知，接触间断两侧压力也是连续的，发生间断的只有密度。不是接触间断的间断称为激波。对于激波而言，必有++−−ρρ()()uD−=−uD>0。通过上面的讨论，我们可以得到一个重要的结论：与均匀流区相邻的区域，一定是简单波区或者间断线。间断显然可以和均匀流区相邻。如不存在间断，必有一族特征线从均匀流区进入这一区域。这样，相应的Riemann不变量不仅沿特征线是常数，

7、而且在这个区域内保持常数，因此这一区域必然是简单波区。2．Riemann问题所谓Riemann问题就是求解Euler方程∂U∂F+=0(9)∂t∂x在初值⎧ULx≤0U(x)0,=⎨(10)Ux>0⎩R下的解。Riemann问题存在解析解。那么它的解是什么结构呢？在一般情况下，UU,之间不LR满足Rankine-Hogoniot关系，所以，随着时间的变化，初始间断会分解为一些特定的流动结构，而且这些结构均发源于初始间断处；而在远离这些结构的地方，流动仍保持为初始值UU,。因此，我们可以预期，Riemann问题解的结构是

8、两侧的均匀流区和中部的间断影LR响区。见下图。4t?均匀均匀x与均匀流区相邻的只能是简单波区或者间断。如果是简单波区，容易知道，其必为中心稀疏波。所以，我们知道，中心的初始间断影响区和均匀流区通过左波（激波或中心稀疏波）和右波（激波或中心稀疏波）分开。但是，是不是只有这两个波，或者说，Riemann问题的解是所谓“双波结构”呢？容