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1、高等计算流体力学讲义（8）第三章不可压缩流动的数值方法§1基本方程及其性质一、基本方程考虑不可压缩NS方程：∇iu=0（1）∂ρu+∇ii()ρuu=ρτf−∇+∇p（2）∂t其中粘性应力为，τ=2μS（3）1TSu=∇+∇()u2如果粘性系数为常数，∇iτ=Δμu（4）常粘性系数不可压缩NS方程可以写为：∇=iu0∂u，+∇i()uu=−∇+Δfpυu∂t其中υ=μρ/为运动粘性系数。NS方程也可以写为无量纲化形式∇=iu0∂u1+∇i()uu=−∇+fpΔu∂tRe其中ρ已经吸收到p中（p代表p/ρ）。不可压缩方程的边界条件为：固体壁面：uu=，wall进口条件：
2、uu=，in1∂u出口条件：=0。∂n不可压缩方程中的压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，所以压力场只是在相差任意常数的条件下是确定的。为了确定全场压力值，还应指定流场中某一点的压力。二、不可压N－S方程的特点：（1）方程为二阶偏微分方程，二阶项中包含参数μ（粘性系数）。边界层、分离、湍流…（2）方程是非线性的，表现为对流项∇i()uu。∂u对一维问题，非线性项为u。假定u的波数为k的Fourier分量为∂xuutk=()sinx（5）∂u1212则：uuk=sin2x。即振幅由uu→；波数由kk→2。也就是说，振幅呈现非线∂x22性变化，且可以产生高频成
3、分。粘性的作用，使得解的结构进一步复杂化，考虑模型方程2∂uu1∂=2∂txRe∂把（5）式带入模型方程，得2−(/ktRe)ut()=e可见，雷诺数越大，或频率越低（流动结构的尺度越大），振幅衰减越慢。综上所述：由于非线性的作用，会产生高频的流动结构；在大雷诺数的条件下，这些高频结构有较长的生命周期，并且与衰减缓慢的低频结构相互作用，使得流动表现出复杂的的非线性、多尺度特征。（3）没有压力对时间的偏导数。由于方程表现出很强的椭圆形，不能利用比较成熟的发展型偏微分方程的数值求解的理论和方法，造成数值求解的困难。尤其是没有明显的计算压力的方程，严格地说，必须耦合求解动
4、量方程和连续方程才能求出压力场和速度场。这种做法，计算量是非常巨大的。目前，不可压缩流动的数值方法还远不如可压缩流动的数值方法更成熟。三、耦合求解方案NS方程的一种可能的求解方案是动量方程和连续方程完全耦合求解，例如可以采用下面的方法。nn+1uuij,,−ijnn++1/21/2υn+1nn+1/2++Duu()GpL=+[uu]+fij,,ijhij,ij,ij,Δt22n+1Du=0ij,差分算子的定义为：DDD()•=⋅•+⋅•[()]ij[()],ij,xy()•−()•()•−()•i+−1,ji1,jij,+−1ij,1DD()•=,()•=xy22ΔΔ
5、xy()•−•()()•−•()ij+−1,ij1,ij,+−1ij,1GGG()•=•+•=()i()ji+j,ij,,,xijyij22ΔΔxy()•−•+2()()•()•−•+2()()•i+−1,jij,i1,jij,+−1ij,ij,1L()•=+,hi,j22ΔΔxy()∗表示离散变量；i，j分别为x，y方向的单位向量；Δx，Δy分别为x，y方向的空间步长。其中对流项显式处理，用二阶精度的Adams-Bashforth格式离散：nn+−1/2n1Duu()=−1.5()0Duu.5()Duu。ij,,ijij,然而，这种方法需要处理非常庞大、形状不规则、
6、刚性很强的稀疏矩阵，计算量非常巨大且不易收敛。所以很少使用。实用的求解不可压缩流动的数值方法都需要把连续方程和动量方程在一定程度上进行解耦。这种解耦处理方法可以使求解效率显著提高，但也由此产生了一系列的新问题。§2SIMPLE方法一、交错网格和非交错网格SIMPLE方法是求解压力耦合方程的半隐式方法（Semi-ImplicitMethodforPressure-LinkedEquations）的简称。本书中，我们讨论这种方法的有限体积形式。在介绍具体的算法之前，我们先讨论一下控制体的选择问题。在计算不可压缩流动时，根据物理量的存储位置，我们可以区分多种不同的控制体类型
7、。比较常见的有两种，称为非交错网格和交错网格。基于非交错网格的控制体和计算可压缩流动的控制体相同，即所有物理量均存储于控制体的中心。基于交错网格的控制体如图2所示：其中压力、密度（和其他标量因变量）存储在控制体(,)ij的中心，这个控制体称为主控制体；速度分量u，v分别存储在以(1ij+/2,)和(,ij+1/2)为中心的控制体中，这些控制体称为动量控制体。3(i,j+1)(i,j+1/2)vv控制体(i-1,j)(i-1/2,j)(i,j)(i+1/2,j)(i+1,j)uu控制体(i,j-1/2)(i,j-1)p主控制体图2基于交错网格的控制体及
