高等计算流体力学讲义.doc

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1、高等计算流体力学讲义(1)第一章计算流体力学基本原理第1节流体力学基本方程一、非定常可压缩Navier－Stokes方程不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型N－S方程可以写为下列向量形式：，(1)其中，，。如果忽略N－S方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler方程：。(2)方程、称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，均为列向量，是方程的解向量，称为守恒变量；称为通量（flux），具体说为无粘通量，为粘性通量。所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。，式所示的向量型守恒方程，实际上仍然是

2、散度形式。显然，，式的另一种等价形式为：，(3)其中，或，通量张量，为直角坐标系三个坐标轴方向的单位基矢量。把式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss公式，有。(4)这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而、或是则是有限差分方法的出发方程。二、流体力学方程的简化形式根据具体流动状态，N－S方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：图1.N－S方程的简化形式三、曲线坐标系中的基本方程当求解域

3、的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线坐标中，矢量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是矢量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。直角坐标到曲线坐标的变换及其逆变换关系为：(5)(6)1、导数的变换对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有。(7)同理可得。(8)对于二阶偏导数，有。同理可得，。把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。

4、以直角坐标系中的Laplace方程为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace方程，得。(9)2、度量系数及其计算方法在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数：。这些系数称为坐标变换公式对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平面中的偏微分方程，如式，必须确定度量系数（有时还包括等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系、的离散表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造的差分近似是不容易的。以为例，根据偏导数的意义，为保持不变时随的变化，如图2所示，网格点

5、处的的计算公式应为：图2的计算。由于一般不是网格点，因此是未知的，只能通过插值方法确定。另一方面，我们可以定义逆变换式的度量系数。在贴体坐标系中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离散，有。(10)这就提示我们，如果能够找到和之间的关系，我们就可以得到等的计算方法。下面，我们推导二者之间的关系。由变换关系式，有，写成矩阵形式。(11)由逆变换式，有。(12)、式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi矩阵。由、易知，(13)即，(14)其中(15)为坐标变换的Jacobi行列式（jacobian）。因此，。(16)根据、、式，

6、可以得到的差分离散形式。如何计算呢？考虑。(17)根据式，我们同样可以得到。现在，把式分别对求导：，上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有：。(18)所以，。(19)同理。(20)对、式的右端进行有限差分离散，就可以算出。三、任意曲线坐标系中流体力学方程组的守恒形式考虑直角坐标系中的二维守恒型Navier－Stokes方程：。(21)利用一阶导数的变换公式，有。(22)式称为平面上Navier－Stokes方程的弱守恒形式。在式两侧乘以Jacobian，有。上面的方程中的各项可以进一步整理：得。(23)注意到，所以，式可化简为。(2

7、4)式称为平面上Navier－Stokes方程的强守恒形式，一般记为：，(25)其中。(26)第2节有限差分方法和有限体积方法本节从一般意义上介绍求解Euler方程的有限体积方法和有限差分方法。本节将不介绍具体的空间离散格式，也不涉及时间导数的离散方法；而是以半离散的有限差分和有限体积方法为例，讨论有限体积和有限差分方法的主要特征以及二者之间的关系。注意到，本节中的所有分析，都假定网格是不随时间变化的，因此所有几何量都可以从时间导数项中提出。当网格随时间变化，例如动网格的情况下，除了随时间变化的几何量不能从时间导数项中提出来，其他的分析和本书是

8、相同的。考虑二维守恒型Euler方程：(1)其中：式也可以写为：(2)①②③A4A1A3A2④yx图3.有限体积方法的控制体一、有限体积方法－方案A考