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1、高等计算流体力学讲义（2）第二章可压缩流动的数值方法§1.Euler方程的基本理论0概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier－Stokes方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。所以，本章主要研究无粘的Euler方程的解法。在推广到Navier－Stokes方程时，只需在Euler方程的基础上，加上粘性项的离散即可。Euler方程是一种典型的非线性守恒系统。下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler
2、方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。1非线性守恒系统和Euler方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式∂U∂Fd+=0，x∈R,t>0（1）∂t∂xTT其中U称为守恒变量，是有m个分量的列向量，即U=(u1,u2,...um)。F=(f1,f2,...fm)称为通量函数，是U的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：limF(U)=0U→0即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。守恒律的物理意义设U的初始值为：Ux(,0)=∈Uxx(),R。如果Ux()在x∈R中有紧支集
3、（即U在000有限区域以外恒为零），则Uxtdx(,)=Uxdx()。即此时虽然Uxt(,)的分布可以随时∫∫RR0间变化，但其总量保持守恒。多维守恒律可以写为∂Uddd+∇•(iF+jG+Hk)=0（2）∂t守恒律的空间导数项可以写为散度形式。守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式1∂U∂U+A(U)=0（3）∂t∂xA是m×m矩阵，称为系数矩阵或Jacobi矩阵，其具体形式为⎡∂f∂∂ff⎤111...⎢∂∂uu∂u⎥12m⎢⎥⎢∂∂fff∂⎥222...A=⎢∂∂uu12∂um⎥（4）⎢⎥⎢...⎥
4、⎢⎥∂∂fff∂⎢mmm⎥⎢⎣∂∂uu∂u⎥⎦12m∂∂FU∂F，容易验证：=A，通常也记A=。流体力学无粘流动的Euler方程是典型的∂∂xx∂U非线性守恒律，可以写为∂U∂F+=0（5）∂t∂x其中：TU=(ρ,ρu,ρE)（6）2TF=(ρu,ρu+p,ρuH)这里ρ，u，p，E，H分别为密度、速度、压力、总能和总焓。对于完全气体，E=e+1u2，212ppH=h+u，e=为内能，h=e+为焓。γ为比热比，对于空气，γ=1.4。2(γ−)1ρρ把（5）式写成拟线性形式，其Jacobi矩阵为：⎛⎞⎜⎟
5、010⎜2⎟uA=⎜−3(−γ)3(−γ)uγ−1⎟（7）⎜2⎟⎜3γ−12⎟⎜(γ−)1u−γuEγE−3uγu⎟⎝2⎠守恒型方程和非守恒型方程。原始变量对应的非守恒型Euler方程WAWW+()=0tx⎧⎫ρρ⎡u0⎤⎪⎪⎢⎥Wu==⎨⎬A()0Wu1/ρ⎢⎥⎪⎪p⎢0ρau2⎥⎩⎭⎣⎦为什么要研究守恒型方程？使用非守恒型方程计算有激波间断的流动，激波位置或激波速度可能不对。22．双曲型方程的定义(k)令Jacobi矩阵的特征值为λ,k=,2,1?,m，则如果A的所有特征值均为实数且A可以对角化（即有
6、m个线性无关的特征向量），则（3）式（以及（1）式）称为双曲系统。如果A的所有特征值为互异实数，则（3）式称为严格双曲系统。矩阵A的特征值λ，由下式定义：A−λI=0（8）(k)显然，对于m×m阶矩阵，（8）式有m个根λ,k=,2,1?,m。对于一维Euler方程，有：)1(λ=u−a)2(λ=u（9）)3(λ=u+aγp其中a=为音速。显然Euler方程为双曲型方程。ρ双曲型系统有m个独立的特征向量，设l,l,?l为左特征向量，则12m(k)lA=λl,k=,2,1?m（10）kk左特征向量为行向量。设
7、左特征向量组成的矩阵⎛l⎞⎜1⎟⎜l⎟L=2（11）⎜⎟⎜@⎟⎜l⎟⎝m⎠则：LA=ΛL（12）其中：(1)(2)()mΛ=diag(,,,)λλ?λ(13)设r,r,?r为右特征向量，则12m(k)rA=λr（14）kk右特征向量为列向量。设右特征向量组成的矩阵为R=(r,r,?,r)（15）12m3则：AR=RΛ（16）由（12）式，（16）式分别有−1A=LΛL（17）−1A=RΛR（18）矩阵A与一个对角阵相似，我们称A可以对角化。显然−1R=L。（19）3．特征线与Riemann不变量以左特征向
8、量左乘（3）式h⎛∂U∂U⎞lk⎜+A⎟=0（20）⎝∂t∂x⎠hh考虑到()klA=λl，有：kk()k⎛∂U()k∂U⎞l⎜+λ⎟=0（21）⎝∂t∂x⎠我们称由dx(t)()k()=λU（22）dtk定义的一族曲线Γ为（3）式的特征线。沿特征线DU⎛⎞∂∂UUdx=+⎜⎟DtΓkk⎝⎠∂∂txdtΓ显然在特征线上：hDUl=0，k=,2,1?,m（23）kDtΓk特征线的意义：对于两个自变量的双曲系统，通过引入特征线，可
