清华大学量子力学讲义Lecture7.pdf

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1、2.Schroedinger绘景与Heisenberg绘景1）么正变换的两种方式前面讨论的空间平移变换()Udxˆ和时间平移变换Udtˆ()都是对态的作用，Udxˆ()1ipdxˆ,Udtˆˆ()1iHdt,而力学量保持不变。考虑任意的么正变换Uˆ，力学量的矩阵元AUˆˆˆˆˆAUU=,ˆˆAU既可以看成,Uˆ力学量Aˆ保持不变，也可以看成,AˆˆUAUˆ态保持不变。两种形式完全等价，不影响力学量的矩阵元，特别是不影响力学量的平均值。例如，空间

2、平移的作用也可以表示为不变，iii()()1xˆˆTˆˆdxxTdxpdxxˆˆ1pdxˆxˆpdxxˆ,ˆxdxˆ。2）时间演化的Schroedinger绘景与Heisenberg绘景Schroedinger绘景：iˆHt态的时间演化,,te0SS力学量保持不变AˆSHeisenberg绘景：iiˆˆHtHt力学量的时间演化()AteAeˆˆ(0)，HH态保持不变，H两个绘景的联系：1(0)AAˆˆ,HS,0,SH注意：（1

3、）内积（包括矩阵元，几率分布和平均值）与绘景无关。（2）由于么正变换不改变对易关系，如果在Schroedinger绘景有对易关系Aˆˆ,BCˆ，即SSSHeisenberg绘景的初始对易关系ABCˆˆ(0),(0)ˆ(0)，则有等时对易关系Aˆˆ(),()tBtCtˆ()。HHHHHHiiˆˆHtSSHt（3）上面的哈密顿算符HHˆˆ，但是HeHˆˆˆeHHˆ。SHSS上面只讨论了态和力学量的时间演化，基矢是否也象一般矢量一样随时间变化？在Schroedinger绘景：Aaˆaa，SSSAˆ不含时间，

4、基矢a也不随时间变化。基矢是力学量的本征态，随时间的变化由力学量确定。SS在Heisenberg绘景：Aaˆaa，HHH因为Aˆ依赖时间，故a必依赖于时间。HH由AUAˆˆˆˆU，HS有UAUaˆˆˆˆaa,AUaˆaUaˆSHHSHH为了重新得到Schroedinger绘景的本征方程，必须有aUˆa，HSiˆHt即,,atea0。HHiˆHt总结：对于时间演化UeˆSchroedinger绘景Heisenberg绘景态,,tUˆ0与时间无关SSH力学量Aˆ与时间无关AtUAUˆˆ()ˆˆ(0)SHH基矢a

5、与时间无关at,,Uaˆ0SHH23）Heisenberg运动方程由于经典力学中只有力学量随时间演化，不引入态矢量的概念。因此，量子力学的Heisenberg绘景更容易与经典力学比较。对iiˆˆHtHt()AteAeˆˆ(0)HH求时间微分，得到Heisenberg运动方程，dAtˆ()1HAtHˆ(),ˆ，dtiH其地位类似于Schroedinger绘景中的态方程it,,Hˆt。SSt注意到正则量子化中，1经典力学量子力学，poissoniHeissenberg运动方程就对应分析力学中的运动方程dA

6、AH,。poissondt4）Ehrenfest定律如何构造Hˆ？有经典对应的量子体系，分析力学的Hxp(,)量子力学的Hxp(,)ˆˆ。对应自由粒子，ˆ2Hˆp，2mHeisenberg运动方程ˆ1dpHpHˆˆ,0ˆ,ptp()ˆ(0),dtiHHHˆˆ11ˆ(0)dxHHxˆˆ,,Hxˆpxˆ2p,ˆ(t)xˆ(0)pHt,dtiHH2imHmHHm对于一般体系ˆ2()HVˆpxˆ，2m3Heisenberg运动方程ˆ11dpHpHˆ

7、ˆ,,ˆpVx(ˆ),dtiHHi将()Vxˆ按xˆ的级数展开，并应用,xˆˆijpiij，有ˆdpHVx(),ˆdtˆˆ11dxHHxHˆˆ,,ˆxpˆ2p,dtiHH2imHmdx2ˆˆdpmVHH(),xˆ2dtdt这里已。两边求平均，2mxddˆˆpV(),xˆ2dtHHdtH此即Ehrenfest定律，对应经典力学中的牛顿定律。关于平均值的Ehrenfest定律与绘景无关。以下没有特殊说明，一般是在Schroedinger绘

8、景讨论问题。3.一维线性谐振子对于任意势，在最小点x附近按Taylor展开：012VxVxVxxxVxxx