清华大学量子力学讲义Lecture12.pdf

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1、第三章：角动量理论1.旋转与角动量系统研究一般角动量理论对于深刻理解量子力学以及量子力学在其它领域的应用与推广有重要的意义。1）经典转动绕同一轴的两个转动是对易的。例如绕Z轴先转30度再转60度和先转60度再转30度是完全相同的。但是，绕不同轴的两个转动是不对易的。如图所示，先绕Z轴逆时钟转动90度再绕X轴转动90度，与先绕X轴转动90度再绕Z轴转动90度的结果不相同。令R()代表在3维空间转动角度的矩阵，矢量VVeVeVexxyyzz经转动后变为'''VV'xeVxyeVyzez，VRV'()，显然转动前后矢量的模不改变，VV'。容易得到绕Z轴转

2、动角的转动矩阵1cossin0R()sincos0，z001对易无限小转动，21022R()10，z20012这里已经略去高于的项。类似有21001022RR()01,()010。xy222010122显然，20022RRRRxy()()yx()()00Rz()1。000上式表明绕不同轴的转动是不对易的。一般有2RR()()RR()(

3、)R()1。ijjiijkk2）量子转动设与经典转动矩阵R()相应的量子转动算符为Dˆ()，Dˆ()，它的表示是一个矩阵D()。对于自旋为1/2的角动量，D()是一个2X2的矩阵，而对于自旋为1的角动量，D()是3X3的矩阵。先讨论转动算符Dˆ()的一般性质。对于无限小空间平移算符，其生成元是动量算符，2iˆipdxTdxˆ()1＝pdxeˆ，对于无限小时间演化算符，其生成元是哈密顿算符，iˆiHdtUtˆˆ(,dtt)1Hdte，ˆ对于转动，由经典力学，知其生成元是角动量。设在量子力学中，角动量算符J是转动算符Dˆ()的生

4、产元。对于绕e方向的无限小转动d，niˆˆiˆJednDd()1Jede。n考虑到绕同一轴的转动是可对易的，则对于有限的转动，iˆJenDeˆ()。设量子力学中的Dˆ与经典力学中的R满足相同的对易关系，DDˆˆ(),()Dˆ()1,2ijijkk2保留到级，有iiiJˆ22Jˆ221,JJJˆˆˆi1j121ijk22，22即Jˆˆi,JiJjijkˆk，或者，ˆˆˆJJiJ。这是量子力学中角动量的基本对

5、易关系。3）角动量的平均值绕Z轴转动，由于态的改变，iˆJzDeˆ()，z平均值Jˆ有改变x3iiˆˆJJzzJJJJˆˆˆˆeJˆexxxxx，0iˆJz将e按级数展开，并利用对易关系JJiJˆˆzx,ˆy，有iiˆˆJJzzeJˆˆˆeJcosJsin，xxy故JJˆˆxxcosJˆysin，00类似，JJˆˆcosJˆsin,yyx00。JJˆˆzz0ˆ如果把JJJˆˆˆ,,看成是一个矢量J的3个分量，有xyzˆˆJRJ()。z02.自旋角动量1）自旋

6、进动前面讨论过绕Z轴的自旋进动的时间演化，eBiiHˆtsˆtzHsˆˆˆ,,(,0)Uteezmc当初态(t=0)处于sˆ的本征态s，则任意时刻t的平均值xxstˆcosxt2stˆsin。yt2sˆ0zt4isˆz比较时间演化算符Utˆ(,0)与自旋绕Z轴的转动算符Deˆ()，如令zt，则对任意初态有，sstˆˆcosstˆsinxxt0y0sstˆˆcosstˆsinyyt0x0ssˆˆzzt0这是初态处于任意态的自旋角动量在t时刻的平均值。当取t2/时，有ssˆˆxx

7、t0ssˆˆyyt0ssˆˆzzt0故称t2/为自旋进动周期。将任意态按sˆ的本征态s进行展开，在绕Z轴的转动作用下，zzsssszzzziiiJˆzee22ssess,zzzz当2时，，转动一周后态不能回到原来！只有转动4才能回到原来。故与平均值的时间演化周期t2/不同，态的时间演化周期是t4/。5