清华大学量子力学讲义Lecture5.pdf

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1、2）空间平移变换定义空间平移算符Tdxxˆ()xdxTdxˆˆ()Tdxdxxx()33dxxdxx(算符只对矢量起作用）3dxxxdx－(积分变量替换）取空间无限小平移算符ˆˆˆTdx()1＝iKdx（其中生成元K为厄米算符）平移变换是一么正算符：ˆˆˆˆTdxT()()1dxiKdx1iKdx1（忽略二级无穷小）平移变换的结合律：ˆˆˆˆˆˆTdxTdx()()112iKdx11iKdx21iKdx12dxTdx(12dx)有

2、限平移变换是无限小平移变换的多次操作。对于任意态，xTdxˆˆˆˆ()dxxTdxxx33()dxxxˆdxx3dxxdxxdxx,Tdxxˆˆ()ˆˆdxTdxxxx33()dxTdxxxx()ˆdxxTdxxx33ˆ()dxxxdxx,xˆ,(Tdxˆ)dxdxx3dxx3dxdxxx(已忽略二级无穷小）dx故有对易关系xˆ,()Tdxˆ＝dxˆˆ即x,Kdxidx＝如

3、果取平移在x的方向，dxejj有xˆ,Kiˆ＝ijij1与量子力学基本对易关系xˆˆ,piijijˆˆ比较，有pK，表明动量是平移变换的生成元，Tdxˆ()1＝ipdxˆ。由于ppˆˆxy,0,Tdxˆˆ(),()1Tdy＝iipdxˆˆ,1pdy0，有x说明，平移与次序无关，平移步骤AdxCdyB与AdyDdxB效果一样。yDBdydxACx3）正则量子化Dirac，1925：经典力学系统的量子化分析力学的Poisson括号量子力学的对易关系

4、AB,ABAB11ABˆˆ,ˆˆABBAˆˆPsqppqssssii例如，xp,xpiˆˆ,。ijPijijij4）坐标表象xˆ的矩阵元：xxxˆxxx()()xxx为对角矩阵12212112i由Tdxˆ()1pdxˆ和2Tdxˆ()dxxxdx33dxxxdxx3dxdxxx有pdˆ3xxix,pdˆ3xxix取

5、x,x，得动量算符pˆ在坐标表象的矩阵元：12xpxˆdxxx3ixxixx1212112再取x,p，1xppˆdxxxi3xpixp1111即pxpixp111解此一级常微分方程得，动量本征态在坐标表象的表示是平面波，ipxxpNe由i332pxx()21xxdpxppxdpNe212123xxN2xx12121N3/22i1px有xpe。

6、3/225）动量表象pˆ的矩阵元：pppˆppp()为对角矩阵12112由ˆˆ33pxpdxdxpxxxxxp1212111222ii331px11px22dxdxexxxe123212211ii()ppx()ppx33211211=dx1133xedx1i1ei1(pp12)223注意这里是对动量的微分。坐标算符本征态在动量表象的形式i*1pxpxxpe。3/22例1：在坐标表象证明x

7、ˆ，pˆ为厄米算符。x()xxx，xx12121xx12xxxx21x()()()212xxx212xxx121xxxxx12pix()xi()xx，xx12xx12x12112px12xxpi21x()x21xi()x21xi()x12xpxx12()xx(