清华大学量子力学讲义Lecture6.pdf

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1、第二章：量子动力学本章讨论量子态和力学量算符的时间演化。在非相对论量子力学中，与其它力学量用算符表示不一样，时间只是一个参量，仍然是一个经典量，不是算符。1.时间演化和Schroedinger方程1）时间演化（平移）算符初始态：,t0从t到t的时间演化：,(tUtttˆ,),000将,t和,t按算符Aˆ的本征态a展开0,,ta00ata,,taata显然，处于某一确定本征态的几率不一定守恒，22at,,at，0但在非相对论量子力学中，总的几率守恒22at,

2、,0at1aa即,,tt,,1tt,00UttUttˆˆ(,)(,)100表明总的几率守恒要求时间演化算符是么正算符。时间演化的结合律：Uttˆˆ(,)UttUtt(,)(,)(ˆttt)。202110210无限小时间演化算符可写成Utˆˆ(,dtt)1idt00Uˆ的么正性要求ˆ是厄米算符，ˆˆ。考虑到ˆ具有频率量纲和Planck－Einstein的能量频率关系E，有，ˆˆH/，1Utˆˆ(,dtt)1iHdt。002）时间演化方

3、程由时间演化算符的结合律：Utˆˆ(dtt,)Ut(dttUtt,)(,)(1ˆˆiHdtUtt)(,)ˆ，000即Utdttˆˆ(,)(Utt,)i00HUttˆˆ(,)0dtiUttˆˆ(,)HUttˆ(,)00t这就是量子力学的基本时间演化方程。将方程右乘初始状态,t，有0iUˆˆ(,),tttHUˆ(,),ttt0000tit,,Hˆtt这就是态的时间演化方程，Schroedinger方程。基本演化方程的解是：如果哈密顿算符不含时间，

4、例如在常磁场中的磁矩相互作用HsBˆ，ziHˆ()tt0Uttˆ(,)e，0如果哈密顿算符含时间，但不同时间的Hˆ对易，例如磁场强度变化但方向不变时Htˆ()sBt()，ztiHˆ(')'tdtUttˆ(,)et0，0如果哈密顿算符含时间，且不同时间的Hˆ不对易，例如磁场强度和方向都变化时Htˆ()sBtˆ()，intt1tn1Uttˆˆ(,)1dtdt...dtHtHt()()...()ˆHtˆ，012nn12n1ttt000称为Dy

5、son级数。以下主要考虑哈密顿算符不含时间的情形。3）定态如果体系初始时处于哈密顿算符Hˆ的本征态，2,tEH,ˆEEE,0iiHttˆ()00Ett(),,,tetet00表明态随时间只改变一个相位，任意力学量Aˆ的平均值iiEtt()00Ett(),,,tAtˆˆˆteAe,,,ttAt0000不随时间变化。故称能量本征态为定态。如果体系初始时不处于定态，则t时刻处于定态E的几率幅iiHttˆˆ()Htt()00EtE,,e

6、tEeEEt'',00E'iiEtt'(00)Ett'()eEE'E',teE,t00E'几率22Et,,Et0不随时间改变。任意时刻处于定态的几率与初始时相同。说明：如果体系初始时处于定态，则永远处于定态，如果体系初始始不处于定态，则永远不处于定态。4）电子自旋进动考虑电子自旋磁矩与外磁场相互作用。设外磁场在Z方向，eeBeBHsˆˆBsˆˆs,0zzmcmcmc时间演化算符isˆztUtˆ(,0)e显然，sH

7、ˆ,ˆ0，z有共同本征态szssˆs,Hsˆs。zzzzz22设体系初始时处于sˆ的本征态s，xx11,0sss，xzz223在任意时刻，态,(tUtˆ,0),0，体系处于s的几率为x2i211stˆz11st,ssessxzzzz22222ii11122tt12tssesescoszzzz22222同理，22tst,sin，x2在任意时刻的

8、平均值22stˆˆ,,sts,ts,txxxx2222ttcossincost2222同理，stˆsiny2sˆ0z4）能量时间不确定关系222由xp，42有xp，AA2由狭义相对论x=tx,，p=Ep,，可猜想tE，2即能量时间不确定关系。但是，在经典力学量子力学中，x,,pExpHˆˆ,,ˆ，但t仍然是一个经典量。那么，t是什么意思？2EH2ˆˆH，2