清华大学量子力学讲义Lecture9.pdf

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1、3）Schroedinger方程的经典极限2由(,)=(,)xtxt，is(,)xt(,)=(,)xtxte令，is**则==jv，2mms其中vm是几率流速度，由相位确定。Schroedinger方程22ix,(tVxx),ttm2变成s12222ii2ssisV。tt2m在经典极限下，0，上面方程变为经典力学中的Hamilton－Jacobi方程12ssV0,2mt相因子s在经

2、典力学中称为Hamilton主函数。4）定态方程的WKB近似iEt对于一维定态(,)xtx()e，经典Hamilton－Jacobi方程的解是xsxt(,)dxmEVx'2(')Et，EVx()0（经典区间）代入连续性方程，j0，t2对于定态，()x是不随时间变化，0,有tsconst.mxconst()x,1/4EVx()iiiEtS(,)xtS(,)xt(,)xt()xec()xec()xe,1xxiiccdx'2mEVx(')dx'2mEV

3、x(')12()xee1/41/4EVx()EVx()xc1cosdx'2mEVx(')1/4EVx()以上是Schroedinger方程在区间EVx()0的经典解。在量子力学中，pˆ与xˆ不对易，总能量与势能不能同时有确定值。EVx()可大于零也可小于零。在量子区间EVx()0，可以验证xx11cdx'2mVx(')Ecdx'2mVx(')E34()xee1/41/4VxE()VxE()是定态Schroedinger方程22d()(()xVxEx

4、)()22mdx的解。EVx()0x称为经典转折点。如何求解x附件的解？00在x附件将Vx()展开至线性项，0dVVxVx()()(xx)00dx0代入定态Schroedinger方程，有2dm2dV()xx0，220dxdx02求其精确解，是1/3级的Bessel函数，然后要求它在x点的左右分别与经典区间和量子区间的0解连续，可以确定以上经典解与量子解中的常数ccc,,,。34考虑到波函数的有限性，在转折点x左右有1x11cdx'2mVx(')E3exxxI1/41VxE()()xc1x1I

5、I1/4cosdx'2mEVx(')xx1EVx()x41其中常数cc,和相位/4原则上由转折点x附近的严格解与右边经典解和左边量子解的连续131性确定，但相位/4也可以理解为来自在x附近的连续性，11/41/41/4dVdVii/41/4/4VxE()()xx11()xxeEVx()edxdx11x。1idxm'2EV(')x/41ex1I1/4EVx()同理，在转折点x左右有2x1dx'2mVx(')Ec4

6、xex2xIII1/42VxE()()xx2c12II1/4cosdx'2mEVx(')xx2EVx()x4考虑到在经典区间xxx波函数的单一性，有12IIxx211dx'2mEVx()/4dx'2mEVx()/4n,xx1x21dx2(mEVx)n2x1这是确定束搏态能量的方程。例如，对于一维线性谐振子，转折点31222EE2Vx()mxE,x,x,12222mmx21122dx2,mEm

7、xnx2211Enn2与严格解完全相同。5.Feynman路径积分1）传播子将态的时间演化iHttˆ()0,,tet0进入坐标表象iiHttˆˆ()Htt()003x",txe",tdxxe'"xxt'',，0定义iHttˆ()0Kxtxt(",;',)xe"x'，0有3(",)xtdx'(",;',)(',)Kxtxtxt，00说明Kxtxt(",;',)是传播子，将时空中的初态波函数(',)xt传播到末态波函数(",