清华大学量子力学讲义lecture11

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1、3）电磁学中的规范变换标势与矢势(,)xt，A(,)xt，1A场强E，BA。ct由经典电动力学，量子力学中带电粒子在电磁场中运动的哈密顿算符2ˆepAˆc(,)xˆtAAxt(,)ˆHe,其中，。2m利用基本对易关系xˆˆij,xpˆˆij,p0,xˆˆij,piij有eeiepˆˆiApAi,jjijkBk，cccHeisenberg绘景中的运动方程为dxˆi11xHˆˆ,,ˆpeAiiidtim

2、cedpˆAiic1pAHˆe,ˆiidticeeeeepAˆˆBBpA,ijkjjkijkjkk22mccmccixˆidx2ˆˆ1dxdxˆmeEBBdt22cdtdt此即Heisenberg绘景中的Ehrenfest定理。注意，xˆ与BA不对易。在Schroedinger绘景中的坐标表象，有Schroedinger方程21(eAx)ix,(tiexx),t，t

3、mc2连续性方程1xt,,jxt0t2xt,,xt,iejxt,Im*xt,Axt,,xtmc如果令iSxt,xt,,xte，则几率流密度xt,ejxt,,SAxt。mc将势进行变换，()x()x保持不变，A()xA()x()x，其中()x为任意标量函数。显然，在此变换下，场强EB,保持不变。称这类势变化而场强不变的变换为规范变换，不同的()x称为不

4、同的规范。(),()xˆˆAx(),()xˆˆAx()xˆ设势对应的态为,t，势对应的态为,t，各自满足12Schroedinger方程2epAˆˆ()xit,(cextˆ),,11tm22pAˆˆˆe()x()xit,(cextˆ),,22tm2如果令ie()xˆ,,tect，212由于ie()xxˆˆeeie()epccˆˆˆA()xx()epˆˆA()

5、x，ccˆˆe容易证明上述两个Schroedinger方程是自洽的，并且坐标xˆ和力学动量pA的平均值c是规范不变的，,,txˆˆt,,txt,1122,(ˆˆee),,(ˆˆˆ)(),.tpAxttpAxxt1122ccie()xˆ,,tect上面的计算表明，在规范变化下，只要态函数进行相应的变换，即两个态只相差一个相因子，则体系的力学性质似乎是规范不变的。规范变换有无可测量的量子效应？4）AB效应如图，半径为a和b构成的长的空心圆柱壳。粒子在ab的壳中

6、运动，不能运动到a和b的空间。波函数在a和b处为零。现在中间空心处放一个长的螺线管，使得产生的磁场限制在管内，保证管外的磁场为零。假设0,aB，Be,za考虑到在柱坐标系中3eeez1BAz，AAAz有2Bae,a2A。Be,2a定态Schroedinger方程为22222ˆe1ieBapAeeeE,zab22mcm2cz显然，磁场

7、项会改变粒子的束搏能级E。重要的是，磁场B并不出现在粒子的运动区间，只有势A存在于粒子的运动区间。可见，在经典力学中，带电粒子的运动由场强E和B确定，而在量子力学中，只有势场而无场强也对体系的性质有影响，这是单纯的量子效应。以上是AB（Aharonov－Bohm）效应对束搏态问题的影响。现在用路径积分来考虑AB效应本身。带电粒子从点A出发经屏上的两个缝到达点B，在B处发生干涉现象。屏后两缝之间有一长螺旋管，管内有磁场B，管外无磁场。对于经典系统，管内的磁场不会对B处的干涉产生影响。