高二数学春季班教学讲义 教师第十讲.pdf

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1、田老师教学资料启迪思维拓展思路高二数学春季班教学讲义第十讲导数在研究函数中的应用一、知识梳理知识点一、导数和函数单调性的关系：1、若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是__增____函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为___增___区间；2、若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是__减____函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为_减_____区间；3、若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为___增___函数，若在

2、(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为___减___函数．知识点二、函数的极值1、判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧____f′(x)>0____，右侧____f′(x)<0____，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧_____f′(x)<0___，右侧_____f′(x)>0___，那么f(x0)是极小值．2、求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程_____f′(x)＝0___的根；③检查f′(x)在方程___f′(x)＝0_

3、____的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得_____极大值___；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得___极小值_____．二、基础自测1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(C)A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数x2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是(D)A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x

4、)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(C)A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值3244．设p：f(x)＝x＋2x＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(C)3A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3225．(2011·福州模拟)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.2f1＝10，1＋a＋b＋a＝10，2解：f′(x)＝3x＋2ax＋b，由题意即f′1＝0，3＋2a＋b＝0，得a

5、＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.2但当a＝－3时，f′(x)＝3x－6x＋3≥0，故不存在极值，∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.6．函数f(x)＝xlnx在(0,5)上的单调递增区间是____________．11解：∵f′(x)＝lnx＋1，f′(x)>0，∴lnx＋1>0，lnx>－1，∴x>.∴递增区间为（,5）.ee三、典例讲解知识点一、函数的单调性2x例1、已知a∈R，函数f(x)＝(－x＋ax)e(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函

6、数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由．第1页田老师教学资料启迪思维拓展思路2xx2x2x解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x＋2x)e，∴f′(x)＝(－2x＋2)e＋(－x＋2x)e＝(－x＋2)e.2x令f′(x)>0，即(－x＋2)e>0，x2∵e>0，∴－x＋2>0，解得－2

7、立．x2∵e>0，∴－x＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，2即x－(a－2)x－a≤0对x∈(－1,1)恒成立．h(1)032设h(x)＝x－(a－2)x－a，只须满足，解得a≥.h(1)02(3)若函数f(x)在R上单调递减，2x则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x＋(a－2)x＋a]e≤0对x∈R都成立．x2∵e>0，∴x－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．22∴Δ＝(a－2)＋4a≤0，即a＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．2x若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x＋