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1、进入学案4直线与圆锥曲线的位置关系名师伴你行SANPINBOOK考点一考点二考点三名师伴你行SANPINBOOK返回目录1.直线与圆锥曲线的位置关系主要是指直线和圆锥曲线，解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，进而转化为一元（一次或二次）方程解的情况去研究.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0..相交、相切、相离解的个数名师伴你行SANPINBOOKAx+By+C=0f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此时圆锥曲线不会是.当圆锥曲线为双曲线时，直线l与双曲线的渐近线.当圆锥曲线是抛物线时，直线l
2、与抛物线的对称轴.（2）若a≠0，设Δ=b2-4ac.①Δ>0时，直线与圆锥曲线相交于；②Δ=0时，直线与圆锥曲线；③Δ<0时，直线与圆锥曲线.另外，还能利用数形结合的方法，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系由消元（x或y）椭圆平行或重合平行或重合两个点相切相离名师伴你行SANPINBOOK返回目录2.直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用求弦长.（2）解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，得到关于x(或y)的一元二次方程，设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，直线斜率为k，则弦长公式为
3、AB
4、=或
5、
6、AB
7、=.两点间的距离公式名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点一直线与曲线的交点个数问题【例1】已知双曲线x2-y2=4，直线l:y=k(x-1)，讨论直线l与双曲线公共点个数.【分析】将直线l的方程与双曲线方程联立消元后转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用“Δ”求解.名师伴你行SANPINBOOK返回目录y=k(x-1)x2-y2=4(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)（1）当1-k2=0，即k=±1时,方程（*）化为2x=5,方程组有一解.故直线与双曲线有一个公共点，此时直线与渐近线平行.（2）当1-k2≠0，即k≠±1时,由Δ=4(4-3k2
8、)>0得-时，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k=±1或k=±时，直线与双曲线有一个公共点；当-时，直线与双曲线无公共点.【评析】研究直线与双曲线位置
9、关系时，应注意讨论二次项系数为0和不为0两种情况.名师伴你行SANPINBOOK返回目录＊对应演练＊在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.名师伴你行SANPINBOOK返回目录(1)由已知，得直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程，得+(kx+)2=1,整理，得(+k2)x2+2kx+1=0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-
10、4(+k2)=4k2-2>0,解得k<-或k>.即k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).名师伴你行SANPINBOOK返回目录（2）设P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程①，得x1+x2=.②又y1+y2=k(x1+x2)+2，③而A(2,0),B(0,1),AB=(-,1).所以OP+OQ与AB共线等价于x1+x2=-(y1+y2),将②③代入上式，解得k=.由（1）知k<-或k>.故没有符合题意的常数k.名师伴你行SANPINBOOK返回目录考点二弦长问题【例2】已知双曲线C1:=1,抛物线C2的顶点是坐标原点O，焦
11、点是双曲线C1的左焦点F.（1）求抛物线C2的方程；（2）过F作直线（不垂直x轴）交抛物线C2于P，Q两点，使△POQ的面积为6（O为原点），这样的直线是否存在？若存在，求出直线的倾斜角；若不存在，请说明理由.【分析】（1）求出点F从而确定P，求出C2的方程.（2）利用弦长公式求
12、PQ
13、的长度，从而计算S△POQ.名师伴你行SANPINBOOK返回目录【解析】（1）C1：=1,c2=a2+2a2=3a2,故c=
14、a
15、，依题意，抛物线C2的方程为y2=-4
16、a
17、·x.（2）设存在满足题意的直线PQ，其方程为y=k(x+
18、a
19、)(k≠0),即
