2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案.doc

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1、哈尔滨工业大学2004/2005学年秋季学期姓名:班级：学号：工科数学分析期末考试试卷（答案）试题卷（A）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟）本卷面成绩占课程成绩70%题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数得分一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D）（A）如果数列收敛，那么数列一定有界。（B）如果，则一定有。（C）在点处可导的充要条件是在点处可微。（D）如果函数在点处导数为，则必在该点处取得极值。2．设在[0，1]上则下列不等式正确者为（B）（A）（B）（C）（D）3．若在上

2、可积，则下列叙述中错误者为（D）（A）连续（B）在上可积第1页（共7页）（C）在上由界（D）在上连续4．若，则（D）（A）（B）（C）（D）遵守考试纪律注意行为规范5．（D）（A）（B）（C）（D）得分二．填空题（每题2分，共10分）1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2．的全部渐近线方程为：。3．摆线处的切线方程为：。4．=：1。5．设在上可导，，第2页（共7页）则=：得分三．计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分）1．若，求解：2，则2．，解：，3.解：==4．解：第3页（共7页）5.已知，求解：=，所以。

3、故四．解答下列各题：（每小题5分，本题满分10分）得分1.已知数列，，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。假设，则。故有界。2）证单调因为，故为单调上升数列。由1）和2）知道收敛。设，由，所以有解得。而且为单调递增数列，所以。故。第4页（共7页）2．设，曲线与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解：，由得，。当时，故当时，达到极大值，且为最大值。五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分）得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然它在上连续。（i）若

4、，则即为满足条件的根。（ii）若，则。而，由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。第5页（共7页）1.设函数且，试证：证明：由知道，所以。因为，故由积分中值定理知：，使得，即。2.设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至少存在一点，使证明：将在与处展成一阶泰勒公式(1)(2)令，注意到，(1),(2)有(3)(4)(4)-(3)得：所以：第6页（共7页）取，即有。4.设在区间上连续，且证明：存在一个使得证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即第7页（共7页）=