多元方差分析.pdf

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1、第一讲多元方差分析第一节简介目前应试教育如同过街老鼠一样，人人喊打（表面上看是这样），但有些家长、教师、校长却担心素质教育是否会导致学生成绩下降？这就涉及到一个如何对学生成绩（如语文、数学、外语、体育等等）进行综合评价的问题？试想将某校某年级的学生按班级随机分成两组，一组施以素质教育，另一组仍延用传统的应试教育。考查某次摸底考试的两种教育模型学生的成绩。很容易想到的分析方法对两组学生各科成绩进行t检验，分别计算出各门课程的t值、P值，然后回答素质教育是否降低学生的语文成绩，是否降低数学成绩，┅。很可能的一种情况是，某一（几）门课程成绩检验结果P值<

2、0.05，而其他的课程成绩检验结果P>0.05。这样对于素质教育是否降低学生学习成绩难以下一个综合的结论。此时对一个观察单位的观察指标常有多个，且各指标间又往往相互联系、互相影响。虽然学生中偏科的现象并不少见，但多是偏于一类课程，如文科课程对记忆能力要求较高的几门学科，或理科课程对逻辑分析能力要求较高的学科。对于这种类型的资料，可能会有的人将各个反应变量割裂开分别进行统计分析，但这种分析方法有三个缺点：1、检验效率低。可能的一种情况是两组（或多组）观察对象的多个观察指标的联合分布之间有差别，而单独对每个观察指标进行统计学检验却没有统计学意义。当然反

3、过来也有可能。但并不是说研究者可以随意地将20个甚至更多个互不相关的观察指标放在一起，考察各组间反应变量的总体联合分布之间有无差别，有可能一个有真正有差别的观察指标其差别可能会被其它许多没有差别的观察指标稀释掉。所以是否考察多个观察指标的联合分布，要看这几个观察指标之间是否存在相关关系。2、犯一类错误的概率增大。假设有p个观察指标，对每个指标进行t检验（或方差分析），一类错误的概率α设定为0.05，根据乘法原理，p个观察指标的p次检验结果均正确p的概率为(10.05)−。当观察指标数为5时，则5次检验结果均正确的概率为0.7738，此时犯一类错误的

4、概率为1-0.7738=0.2262。当观察指标数为10时，犯一类错误的概率则增大为0.4013。当然这种情况可以应用一些方法（如Bonferroni法）通过降低α水准予以5解决。如观察指标为5时，则相应的α水准应该是0.0102，(1-0.0102)=0.9500。3、一元分析结果不一致时，难以下一个综合结论。如上面素质教育的例子，就很难说素质教育是否会导致学生学习成绩下降。4、忽略了变量间相关关系。导致只见树木，不见森林。解决方法就是采用本章所介绍的多元方差分析（Multivariateanalysisofvariance,MANOVA）。多元

5、方差分析中的多元指的是反应变量为多个，平常所说的多元回归对应的是反应变量为一个，而自变量有多个的资料的统计分析。多元方差分析的基本思想与前文述及的一个反量变量的方差分析相似，都是将反应变量的变异进行分解成两部分：一部分为组间变异（组别因素的效应），一部分为组内变异（随机误差）。然后对这两部分变异进行比较，看是否组间变异大于组内变异。从理论上讲组间变异再小也不可能比组内变异小，因为若组别因素效应为0，则组间变异应该等于组内变异，因此多元方差分析与单个反应变量的方差分析一样，也是双侧检验对应单侧概率。所不同的是，后者是对组间均方与组内均方进行比较，而前

6、者是对组间方差协方差矩阵与组内方差协方差矩阵进行比较。多元方差分析对资料的要求：1、各应变量服从多元正态分布。多元方差分析对于多元正态分布的要求并不高，实际应用中这一条件通常弱化为每一个反应变量服从正态分布即可。若各反应变量服从多元正态分布，则每个反应变量的分布（即该多元正态分布的边际分布，marginaldistribution）必然也服从正态分布，而反过来则未必成立。如果有一个反应变量不服从正态分布，则这几个反应变量的联合分布也可能不服从多元正态分布。2、各观察对象之间相互独立。3、各组观察对象反应变量的方差协方差矩阵相等。4、反应变量间的确存

7、在一定的关系，这可以从专业或研究目的的角度予以判断。需要指出的是，多元方差分析对于方差齐性要求较高，分析结果对于方差齐性较为敏感。并且对样本含量也有一定要求，不仅总样本量要较大，各处理中样本数量也应较大，否则检验效能偏低，容易得到阴性结果，犯二类错误概率增大。第二节多元分析常用统计量2.1方差、协方差阵方差（variance）也称均方差（meansquaredeviation）,反映一个变量在某个特征群体上离散水平。其计算公式为：nn2∑∑()()xik−−xxiikxi()xik−xikk==11v==iinn−−11协方差（covariance

8、）,反映两个变量在在某个特征群体上共同离散水平。其计算公式为：n∑()xik−−xxxi()jkjk=1v=ijn−1将各