随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用_徐敏.pdf

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1、第36卷第9期数学的实践与认识Vol.36No.92006年9月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYSep.,2006随机微分方程数值解在泄洪风险分析中的应用23131徐敏,胡良剑,丁永生,胡盈,周林峰(1.东华大学信息科学与技术学院,上海201620)(2.东华大学旭日工商管理学院,上海200051)(3.东华大学应用数学系,上海201620)摘要:根据泄洪过程中库水位过程的随机微分方程,利用数值解方法,模拟了随机干扰下的库水位及其波动状况.采用相应公式计算了洪水漫越坝顶事件的概率以及

2、库水位过程在不同时刻的样本均值.并通过比较在同样强度的随机干扰下库水位的高低状况,确定出各种泄洪方案的优劣,从而对防洪工作具有重要的指导意义.关键词:随机微分方程;数值解;欧拉法;泄洪风险1引言[1]对于洪水,风暴潮等自然灾害事件,风险分析是一种极为有效的工具.由于洪水过程具有很多种不确定性因素,随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析.近年来,这方面的[2—4]很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程;Sen以一阶马尔科夫过程为工具对具[5]有线性相关结构的水文系列风险进行计算.特别地,随机微分方程被引入防洪风

3、险分析,[6,7]由此建立了水库调洪演算的随机数学模型.由于随机微分方程本身的复杂性,除了一些线性的或者特殊结构的方程以外,可求出显[8,9]示解的随机微分方程很少.本文中讨论的随机微分方程不具有上述性质,因此无法求出显示解.姜树海根据其解过程的一阶概率密度函数满足Fokker-Plank向前方程,而这一方[6]程又是一偏微分方程,从而利用偏微分方程的有限差分法求出其数值解,但这种方法不能[7]求得概率特征,于是JC计算方法被用于近似地算出洪水漫越坝顶的概率.不难看出,这种方法由于采用多次转化,误差比较大.本文

4、利用随机微分方程数值解方法,结合实际例子,分析总结了库水位在布朗运动干扰下的随机波动状况;直接求出了洪水漫坝的风险概率和库水位过程在不同时刻的数学期望.并且还对不同的方案进行分析比较,以确定哪种方案的效果更好,从而可对防洪决策过程提供一定的依据.2调洪过程的随机微分方程[6]调洪过程中入库洪水和出库泄量是随机过程,其库容水位满足随机微分方程:--Q(t)-q(H,c)dB(t)dH(t)=dt+G(H)G(H)(1)H(t0)=H0收稿日期:2005-06-27基金项目:国家自然科学基金(60474037);教

5、育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-04-415)154数学的实践与认识36卷其中H(t)为库水位过程;H0为初始库水位,它是一个随机变量;Q(t)为任意时刻入库洪--水量;q(h,c)为相应时刻的泄洪流量;Q,q分别为来流和泄洪的均值过程线;c为流量系数dW(H)等水利参数.G(H)=,W(H)是水库的库容量,B(t)是一均值为零的Wiener过dH程,dB(t)/dt是一正态白噪声,B(t)的一维概率密度函数f(B)为:21Bf(B)=exp-2.2PtõR2Rt2由上式可以看出,E[B(t)]=0,D[

6、B(t)]=Rt.洪水漫越坝顶的泄洪风险率定义为Pf=Pf[HEZ],其中,Z为相应的坝高.3计算方法由于随机微分方程很少可求出显示解,故其数值解方法得到广泛的研究和应用.相对于常微分方程数值法而言,随机微分方程数值解方法引入了随机增量,它将所考虑的时间区间做有限划分,一步一步地在节点处生成样本轨道的逼近值,其数值解方法主要有:Eu-ler法、Milstein法、Runge-Kutta法等.这里采用Euler法.3.1随机微分方程解的欧拉逼近法考虑一般随机微分方程:dXt=a(t,Xt)dt+b(t,Xt)dW

7、t(2)其中,t0FtFT,初始条件是Xt=X0.我们对时间区间[t0,T]进行离散化:0t0=S0

8、分方程的Euler法就退化为常微分方程的Euler法.就数值方法而言,一般讨论其强收敛性.[8]Dd定义1对于一个最大步长为D的离散逼近序列Y,它在时刻T强收敛于一个Ito过程X,如果它满足:DlimE(ûXT-Y(T)û)=0.D↓0[8]D定义2对于一个最大步长为D的离散逼近序列Y,它在时刻T以C(>0)阶强收敛于一个Itod过程X,如果存在一不依赖于D的正常数C及一D0(>0),