浅谈解的存在唯一性定理在偏微分方程数值解中的应用.pdf

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1、研究与开发文章编号：1007-1423（2014）02-0008-04DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2014.02.002浅谈解的存在唯一性定理在《偏微分方程数值解》中的应用王金凤（内蒙古财经大学统计与数学学院，呼和浩特010070）摘要：从一个新的角度讨论常微分方程中解的存在唯一性定理在偏微分方程数值解法中的重要应用。给出一类伪双曲型偏微分方程的新的分裂混合有限元数值格式，将该格式转化成常微分方程系统，利用解的存在唯一性定理证明该系统是存在唯一解的。通过简短的讨论、概述明确解的存在唯一定理在偏微分方程数值解中的应

2、用方法，并希望能够在教学科研未来的发展中有新的观念。关键词：常微分方程；解的存在唯一性定理；偏微分方程数值解；分裂混合元法；伪双曲方程基金项目：内蒙古自治区高校科学研究项目（No.NJZY13199）、内蒙古财经大学科研项目（No.KY1101）0引言唯一性之间的关系问题(即如何利用常微分方程中解的存在唯一性定理证明偏微分方程数值格式解的存在常微分方程中解的存在唯一性定理（参见文献[1~唯一性问题）。目前在海量的教学科研文献中，虽然已2]）被认为是常微分方程中的重要的定理之一，因此有经有了一些相关的应用[6~9]，但是没有得到一个很好的诸多的

3、教学一线的教师对其进行教学研究，发表了一总结概述。在文献[10]中，作者提出了伪双曲型方程的些相关的教学论文。在文献[3]中作者进行了关于常微一个新的分裂H1-Galerkin混合元数值格式，但没有给分方程中带有初值问题解的存在唯一性定理的一些教出混合有限元格式的解的存在唯一性的证明。在本文学策略的探讨。通过命题化处理的办法使得解的存在中，将应用常微分方程解的存在唯一性定理证明文献唯一性定理证明更加的清晰，便于学生的理解和掌[10]中混合元数值格式解的存在唯一性，并以此给出详握。同时作者探讨了Picard逐步逼近法一些实例应细的探讨。希望这里

4、的探讨总结能为教学科研人员在用。文献[4]中，作者在对解的存在唯一性证明中首先采未来的教学和科研中起到一定的启示作用。用初始逼近函数为常量函数的特殊情形，进而推广为将初始逼近函数选为任一连续函数的一般情况。在文1数值方法简述献[5]，作者利用不动点理论并构造上、下控制函数，同在文献[10]，作者研究了伪双曲方程的一维情况，时结合上、下解方法证明了一类一阶常微分方程初值[9,11~12]在这里我们考虑如下二维和三维问题:问题。以上的这些文献，基本上是关于解的存在唯一性鄣鄣utt-塄·（a（x）塄ut+a（x）塄u）+ut=f（x，t）（x，t）

5、∈Ω×J鄣定理在常微分方程中的一些应用及证明方法的改进鄣鄣鄣u（x，t）=0（x，t）∈鄣Ω×J（1）鄣等。鄣鄣鄣u（x，0）=g（x），u（x，0）=y（x）x∈Ω鄣t本文的目的是从一个新的角度考虑它在教学科研∧中的作用，也就是探讨关于常微分方程解的存在唯一记L2（Ω）=（L2（Ω））d，（d=2或3）定义内积和范数，性定理与偏微分方程数值解法中的数值格式解的存在髽现代计算机2014.01中研究与开发1和dd2（q，w）=Σ2，N1（qi，wi），

6、

7、w

8、

9、=

10、Σ

11、

12、wi

13、

14、

15、hi=1i=1u（0）=Σuiδi（x）i=1∧22W=H（di

16、v；Ω）=｛w∈L（Ω）

17、塄·w∈L（Ω）｝N2hq（0）=Σqjβj（x）引入q=a（x）塄u，σ=u-塄·q，利用类似于文献[10]j=1讨论过程可得到分裂H1-GalerkinN3混合弱形式：h1σ（0）=Σσk（t）γk（x）求｛u，q，σ｝∶［0，T］→H×W×L2满足：k=10将以上表达式代入混合系统（3），选取vhhh1=δm，w=βl，h（a）（塄u，塄v）=（αq，塄v），坌v∈Hhh0zh=γ，可将混合系统（3）转化成如下常微分方程组系hnh（2）h（b）（αqt，w）+（塄·q，塄·w）=-（σ，塄·w），坌w∈Wh统：

18、求ui（t）（i=1，2，…，N1），qj（t）（j=1，2，…，N2）和hh（c）（σ，z）+（σ，z）=（f，z），坌z∈L2htσ（t），（k=1，2，…，N）使得：k3这里α＝1hN1。ha（x）hh（a）Σui（t）（塄δi（x），塄δm（x））=h1hi=12h给定有限维子空间Vh奂H，Wh奂W和Lh奂L，于hN0h2hhhhhΣq是可得（2）式的半离散混合元格式：求｛u，q，σ｝∶［0，T］hj（t）（αβi（x），塄δm（x）），（m=1，2，…，N1）hj=1h满足：h→Vh×Wh×LhhN2N2hhhhhhhhh（b）Σq

19、'j（t）（αβj（x），βl（x））+Σqj（t）（塄·βj（x），塄·βl（x））=h（a）（塄u，塄v）=（αq，塄v），坌v∈Vhhhhj=1j=1hhhh