浅析三角函数性质理解和简单应用.doc

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1、浅析三角函数性质理解和简单应用摘耍：通过分析三角函数的图像可以掌握三角函数的性质。在解决三角函数问题是常用数学方法有化归法、换元法、数形结合法。关键词：三角函数性质应用前言：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。在这部分内容中函数的图像和性质起着至关紧要的作用。下面我以正弦函数为例浅谈三角函数图像和性质的理解和简单应用。一、通过图像分析止弦函数性质1•在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中，明确了y二sinx的最小正周期为之后，常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线。所谓的五点木质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点。在正弦函数中这五点分别是(0,0),(,1),

2、(Ji,0),(,-1),(2n,0),用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到止弦函数y二sinx—个周期的图像。然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律。如下图：2•通过分析正弦函数的图像特点，可以很容易得到正眩函数y=sinx的其它性质(1)定义域函数的图像是向左右两个方向无限延展的，所以正弦函数的定义域是。(1)值域函数图像呈波浪形，具有周期性。函数图像最高到达1,最低到达-1,并且函数图像是连续的，可以确定函数的值域是[-1,l]o从函数图像可以看出函数具有周期性，所以正弦函数有无数个极值点。距离y轴最近的最高点(,1)即当x二时，y取最大值1。根据正弦

3、函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值，即当y二1时，x=+2kn,keZo同样的方法就可以写出函数取最小值即y=T时,x二-+2k,keZo(2)对称轴由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称。也就是说正弦曲线有无数的对称轴，且相邻的两个对称轴的间距为n即对称周期为n。用一条距离y轴最近的对称轴x二做参考,根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x=+k,keZ,k的每一个取值对应一个对称轴。(3)对称中心由中心对称的定义，正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心，坐标可以统一表示为(kn,0)keZo因为坐标原点也是对称中心，所以正弦函数是奇函数。(4

4、)单调性根据单调增函数图像上升和下降的特征规律，确定是正弦函数的一个单调增区间。把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正眩函数的其它增区间完全重合。根据正眩函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间kez,k的每一个取值就对应一个增区间。同样表示出正弦函数所有的单调减区间kezo二、利用正弦函数的图像和性质解决有关v=Asin(sx+e)的问题解三角函数不等式。例题：已知f(x)=3sin(2x+),f(x)>6,求x的取值范围。解析：由题目条件可知3sin(2x+)>6,即sin(2x+)>用换元法令X二2x+,即可得到sinX>.结合正弦函数y=sinX的图像找到s

5、inX>对应的图像位于在直线y二的上方不包含于y=sinx的交点。先写出距离y轴最近的一个区间〈X〈，因为函数的周期性我们得到所有区间+2kH

6、数的所有的增区间-+2kJi

7、数形结合法等方法就能比较容易的解决类似y二Asin(Qx+e)的一些问题。