浅析凸函数的性质和应用.doc

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1、凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质;凸函数的不等式AbstractInthisarticle，firstwelistseveralkindofdefinitionsforconvexfunctions，thenwegiveseveralimportantpropertiesofconvexfunctions;finallywediscusstheapplicationofconvexfunction

2、sindifferentialcalculus,integralcalculus,andtheproofofinequality.Keywordsintegralpropertiesofconvexfunctions;inequalityofconvexfunctions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1凸函数的定义及其相互关系定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当

3、:,有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若连续,则定义1，2，3等价.2凸函数的性质定理1设在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,保持成立）：（i）在I上为凸函数（1）（ii）（2）(iii)（3）(iv)（4）推论1若在区间I

4、上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率是x的增函数（若为严格凸的,则严格增）.推论3若是区间I上的凸函数，则I上任意四点s

5、论5若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有.证明（必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且.由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有.(充分性)设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的.定理3设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增.证明（充分性）,不妨设及记，则,或(1)由于(1)式等价于(2)应用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2)式获证

6、.（必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：定理4（不等式）若为上的凸函数，则,，有.证明应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及（i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得==即对任何正整数,上述不等式成立.推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有.3凸函数的应用3.1在微分学中的应

7、用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质.例1设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间:①（证明在上有上界）取.因为凸函数,所以其中.故在上有上界；②（证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以,从而，即为在上的下界.例2设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有(1)因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，（其中分别表示在上的上下界）,从而(2)若可取由的凸性，有，从而由此可得(2)式成立.若，则（2）

8、式明显成立.这就证明了（2）式对一切皆成立.因此（2）式当与互换位置也成立，故有，令则（1）式也获证.例3设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限与存在.证明设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极